(江苏版)2018年高考数学一轮复习专题7.4基本不等式及其应用(练)

内部文件，版权追溯 内部文件，版权追溯 专题7.4 基本不等式及其应用

一、填空题 1．下列不等式：

?21?①lg?x＋?>lg x(x>0)；

4??

1

②sin x＋≥2(x≠kπ，k∈Z)；

sin x③x＋1≥2|x|(x∈R)； ④

1

＜1(x∈R)． x＋1

22

其中一定成立的是________(填序号)． 【答案】③

2．若2＋2＝1，则x＋y的取值范围是________． 【答案】(－∞，－2] 【解析】22

x＋yxy≤2＋2＝1，所以2

xyx＋y1x＋y－2

≤，即2≤2，所以x＋y≤－2. 4

?b??4a?3．(2017·镇江期末)若a，b都是正数，则?1＋?·?1＋?的最小值为________．

ab?

??

?

【答案】9

b4a?b??4a?【解析】∵a，b都是正数，∴?1＋??1＋?＝5＋＋≥5＋2ab????

abb4a·＝9，当且仅当b＝2a>0时取等ab号．

12

4．(2015·湖南卷改编)若实数a，b满足＋＝ab，则ab的最小值为________．

ab【答案】22

12

【解析】依题意知a＞0，b＞0，则＋≥2

2

abab2212＝，当且仅当＝，即b＝2a时，“＝”成立．因

abab1222

为＋＝ab，所以ab≥，即ab≥22，所以ab的最小值为22.

abab5．(2017·苏、锡、常、镇四市调研)若实数x，y满足xy>0，则

2y的最大值为________．

x＋yx＋2y＋

1

x【答案】4－22

6．若正数x，y满足4x＋9y＋3xy＝30，则xy的最大值是________． 【答案】2

【解析】由x＞0，y＞0，得4x＋9y＋3xy≥2·(2x)·(3y)＋3xy(当且仅当2x＝3y时等号成立)，∴12xy＋3xy≤30，即xy≤2，∴xy的最大值为2.

11

7．(2017·苏州调研)已知实数m，n满足m·n>0，m＋n＝－1，则＋的最大值为________．

2

2

2

2

mn【答案】－4

【解析】∵m·n>0，m＋n＝－1，∴m<0，n<0， 11?11??nm?∴＋＝－(m＋n)?＋?＝－?2＋＋?≤－2－2

mn?mn??mn?

nm111

·＝－4，当且仅当m＝n＝－时，＋取得最大mn2mn值－4.

8．若对于任意x＞0，

x≤a恒成立，则实数a的取值范围是________．

x＋3x＋1

2

?1?【答案】?，＋∞? ?5?

【解析】

x＝x＋3x＋1

2

， 13＋x＋1

x1

因为x＞0，所以x＋≥2(当且仅当x＝1时取等号)，

x则

11≤＝， 13＋253＋x＋1

x即

x11

的最大值为，故a≥.

x＋3x＋155

2

二、解答题

9．已知x＞0，y＞0，且2x＋5y＝20. (1)求u＝lg x＋lg y的最大值； 11

(2)求＋的最小值．

xy 2

10．(2017·苏北四市联考)如图，墙上有一壁画，最高点A离地面4米，最低点B离地面2米，观察者从距离墙x(x>1)米，离地面高a(1≤a≤2)米的C处观赏该壁画，设观赏视角∠ACB＝θ. (1)若a＝1.5，问：观察者离墙多远时，视角θ最大？ 1

(2)若tan θ＝，当a变化时，求x的取值范围．

2

解 (1)当a＝1.5时，过点C作AB的垂线，垂足为点D，

则BD＝0.5，且θ＝∠ACD－∠BCD， 由已知知观察者离墙x米，且x>1，

3

【能力提升】

xy21222

11．设正实数x，y，z满足x－3xy＋4y－z＝0，则当取得最大值时，＋－的最大值为________．

zxyz【答案】1

4