控制工程基础点题班复习资料（35页） - 图文

第二章 数学模型 2.1本章知识点

本章节包括4个知识点，控制系统的微分方程、拉氏变换、传递函数、系统方框图，这4个知识点都是考研复习的重点。 2.2本章重难点总结

【知识点1】数学模型概念，微分方程

控制系统的微分方程依据：反映系统内在运动规律的物理学定律和各专业理论 控制系统的微分方程步骤：

（1）明确输入、输出；分析信号传递、变换过程；

（2）从输入端开始，按信息传递、变换过程列写各变量之间的数学关系式；注意：因果关系和负载效应；

（3）如有必要，对非线性表达式进行线性化处理；消去中间变量，得到输出——输入关系式； （4）整理成规范形式。

【知识点2】传递函数的定义、拉氏变换

传递函数的定义：零初始条件下，系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。 零初始条件：

（1）t<0时，输入量及其各阶导数均为0；

（2）输入量施加于系统之前，系统处于稳定的工 作状态，即t < 0 时，输出量及其各阶导数也 均为0；

传递函数的性质：传递函数一般只能描述线性定常系统动态特性。分布决定了系统的动态过程。 传递函数是系统在复数域中的数学模型，它与微分方程有相通性。分子多项式系数及分母多项式系数，分别与相应微分方程的右端及左端微分算符多项式系数相对应。

传递函数是一种用系统参数表示输出量与输入量之间关系的表达式，它只取决于系统或元件的结构和参数，与输入量的形式无关，也不反映系统内部的任何信息。

传递函数是复变量s的有理真分式函数，具有复变函数的所有性质。所有系数均为实数。 传递函数不表明系统的物理属性。相似系统具有相同形式的传递函数. 传递函数的量纲取决于系统输入与输出的量纲。

拉氏变换：设函数f(t) (t?0)在任一有限区间上分段连续，且存在一正实常数?，使得：

lime??tf(t)?0t??

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?则函数f(t)的拉普拉氏变换存在，并定义为：

F(s)?Lf(t)??式中：s=?+j?（?，?均为实数）； ? ? st称为拉普拉斯积分0?f(t)e??f(t)e?stdt0 指数函数

f(t)?e?at（a为常数）

L[e?at]???at0e??e?stdt ????(s?a)t0edt ?1s?a,(Re(s?a)?0)正弦函数与余弦函数

L[sin?t]???sin?t?e?st0dtL[cos?t]???cos?t?e?st0dt由欧拉公式，有：

sin?t?1?ej?t?e?j?t2j?cos?t?1?ej?t?e?j?t2?

f(t

1 0 指数函

t

f(t) 1 f(t)=sin?t 0 t

-1 f(t)=cos?t 正弦及余弦函数

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从而：

L[sin?t]???1?j?t?st??j?t?st?0eedt??0eedt2j1?11?????2j?s?j?s?j??????s2??2?Re(s)?0?

同理，有L[cos?t]?s

22s??单位脉冲函数?(t)

?0??(t)??1lim????0?(t?0且t??)(0?t??)L??(t)???lim?e?stdt?0??01?1?lim(1?e??s)??0?s由洛必达法则：

1(1?e)???slim(1?e)?lim??0?s??0(?s)???e??sL??(t)??lim?1??0?

??s：

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单位速度函数（斜坡函数）

?0f(t)???t??t?0t?0f(t) 1 L?f(t)???0te?stdte?st?t?s?1s2e?st??dt?s?00?Re(s)?0?0

1

单位速度函数

t

单位加速度函数

t?0?0?f(t)??12tt?0??2?12?st??Lf(t)??0tedtf(t

2?1s3?Re(s)?0?0 单位加速度函数

t

【知识点3】系统方框图

系统方框图定义：是系统数学模型的图解形式。可以形象直观地描述系统中各元件间的相互关系及其功能以及信号在系统中的传递、变换过程。注意：即使描述系统的数学关系式相同，其方框图也不一定相同。

方框图的结构要素 ：

X(s), x(t)

（1）信号线

信号线

带有箭头的直线，箭头表示信号的传递方向，直线旁标记信号的时间函数或象函数。

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