2019届山东省潍坊市高三高考模拟(4月二模)考试数学(理)试题(解析版)

在锐角

中，

,所以

所以.

所以【点睛】

的取值范围为

本题主要考查了三角恒等变形及正弦定理，还考查了两角和的正弦公式，考查计算能力及三角函数的性质，属于中档题。

三、解答题 17．设数列（1）求

满足的通项公式；

．

（2）求数列的前项和．

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）在中，将代得：

，由两式作商得：，问题得解。

（2）利用（1）中结果求得

乘公比错位相减法分别求和即可得解。 【详解】 （1）由n＝1得因为当n≥2时，

，

，分组求和，再利用等差数列前项和公式及

，

，

由两式作商得：（n＞1且n∈N），

又因为符合上式，

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所以（n∈N）．

（2）设2n， 则bn＝n＋n·

，

所以Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝（1＋2＋…＋n）＋

22＋3·23＋…+（n－1）·2n－1＋n·2n，① 设Tn＝2＋2·

2

23＋…（n－2）·2n－1＋（n－1）·2n＋n·2n＋1，② 所以2Tn＝2＋2·

①－②得：－Tn＝2＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1， 2所以Tn＝（n－1）·所以

n＋1

＋2．

，

即【点睛】

．

本题主要考查了赋值法及方程思想，还考查了分组求和法及乘公比错位相减法求和，考查计算能力及转化能力，属于中档题。 18．如图所示的多面体

中，四边形为

的中点．

为菱形，且

，

（1）求证：（2）若平面

平面平面

；

，求直线

与平面

所成角的正弦值．

【答案】（1）证明见解析；（2）.

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【解析】（1）连结BD，交AC于M，连结FM，MG，证明即可解决问题。

（2）建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量及

，利用空间向量夹角公式即可求得直线EC与平面ACF所成角的正弦

值，问题得解 【详解】

证明：（1）连结BD，交AC于M，连结FM，MG， 因为BC＝AD＝2EF，EF∥BC，BC∥AD，所以

，

在△ACD中，M，G分别为AC，CD的中点，所以，

所以，所以四边形EFMG是平行四边形，

所以EG∥FM，

又因为FM平面ACF，EC平面ACF，所以EG∥平面ACF． （2）取AB的中点O，连结FO，OC，

因为AF＝BF＝BC，∠ABC＝60°，四边形ABCD为菱形，所以FO⊥AB，OC⊥AB， 因为平面ABF⊥平面ABCD，所以FO⊥平面ABCD， 故以O为原点，

，

，

分别为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系，设

AF＝BF＝BC＝2EF＝2．

则A（－1，0，0），C（0，0），

，0），F（0，0，），E（，，），＝（1，，

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，，

设＝是平面ACF的一个法向量，

则，，

令y＝z＝1，则，故＝（，1，1），

设直线EC与平面ACF所成角为，

则，

所以直线EC与平面ACF所成角的正弦值为【点睛】

．

本题主要考查了线面平行的证明，还考查了利用空间向量求线面角的正弦值，考查空间思维能力及转化能力，考查计算能力，属于中档题。

19．某高校为增加应届毕业生就业机会，每年根据应届毕业生的综合素质和学业成绩对学生进行综合评估，已知某年度参与评估的毕业生共有2000名．其评估成绩Z近似的

（?，?）服从正态分布N．现随机抽取了100名毕业生的评估成绩作为样本，并把样

本数据进行了分组，绘制了如下频率分布直方图：

2

（1）求样本平均数x和样本方差s2（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （2）若学校规定评估成绩超过82.7分的毕业生可参加A、B、C三家公司的面试．

?，用样本标准差s作为?的估计值??．请利用估（i）用样本平均数x作为的估计值?计值判断这2000名毕业生中，能够参加三家公司面试的人数； （ii）若三家公司每家都提供甲、乙、丙三个岗位，岗位工资表如下： 公司 甲岗位 乙岗位 丙岗位 第 16 页 共 24 页