现代信号处理教程- 胡广书（清华）

?2H0(ej?)?(?)

式中???Ts，?是相对连续信号的角频率，??2?f,而?是相对离散信号的圆频率。由于后面的讨论以离散信号和离散系统为主，所以，我们将?,?都记为?，并将ej?简记为?。这样，最后有

同理，有

2?(2?)?H0(?)?(?) (10.4.7) 2?(2?)?H1(?)?(?) (10.4.8)

请读者记住，?(?)、?(2?)和?(2?)都是连续信号的傅里叶变换（FT），而H0(?),H1(?)是离散信号的傅里叶变换（DTFT）。

将(10.4.3)和(10.4.4)两式的两边分别对t积分，由于有

??(t)dt?1，??(t)dt?0,所以，

k????h(k)?0?2 (10.4.9)

对应于频域，有

k????h(k)?0 (10.4.10)

1?H0(?)??0?H1(?)??0?k?????h(k)?01?2 (10.4.11)

k????h(k)?0 (10.4.12)

因此，H0(z)应是低通滤波器，H1(z)应是高通滤波器。

由（10.4.7）式，有

?(?)?1??H0()?()

2221?1??H0()H0()?()

22442- 308 -

?

?1?1?1??H0()H0()H0()?()??

2242882J

??j?1H0()?2?() (10.4.13)

2J2j?由于当J??时，?(?2J)??(0)?1，因此

?H0(?/2j)??(2?j?) (10.4.14) ?(?)????H02j?1j?1?(2?j?)?H0(2?j?)/式中H0

2.同理可由(10.4.8)式求出： 1??H1()?()

222?(?)?1??H0(2?j?) ? H1()?2j?222即

???()?H0?(2?j?) (10.4.15) ?(?)?H12j?2?(式中H1?)?H1()/2.这样，(10.4.14)和(10.4.15)式建立了H0(?),H1(?)分别和?(?)22?和?(?)的直接关系。若H0(z),H1(z)已知，我们可由它们求出相应的?(?)和?(?)，进一步求出相应的?(t)和?(t)。

e?j??(?)?e?j?，则 例如，若H0(?)?，即H02 若H0(?)?cos?/?(?)??el?1??j?/2l?e?j[???]24???e?j? (10.4.16)

?(?)?cos?，则 2，即H0 - 309 -

???sin? (10.4.17) ?(?)??cos(2?j?)?Lim[coscos?cosj]?j??242?j?1?此外，由于 V0?W1?W2??Wj?Vj, 且当j??时 Vj??0?

?因此，从能量守恒的角度，有 或

?(?)???(2?) （10.4.18）

2jj?12?(?)???(2j?)??(2J?) (10.4.19)

2j?1J22

10.5 二尺度差分方程与共轭正交滤波器组

(10.4.7)和(10.4.8)式给出了二尺度差分方程的频域关系，(1.7.11)和(1.7.12)式给出了正交基的频域性质。在此基础上，我们可导出在二尺度差分方程中h0(k)和h1(k)的频域关系，从而把多分辨率分析和滤波器组结合起来。

定理10.3设??L2(R),??L2(R)分别是多分辨率分析中的尺度函数和小波函数，

h0(k),h1(k)分别是满足二尺度差分方程(10.4.3)和（10.4.4）式的滤波器系数，则

H0(?)?H0(???)?2 (10.5.1a) H1(?)?H1(???)?2 (10.5.1b)

2222??H0(?)H1(?)?H0(???)H1(???)?0 (10.5.1c)

证明：先证明(10.5.1a)式。由(10.4.7)式，有

?(?)?1??H1()?() (10.5.2)

222由于?(t?k)是V0中的正交归一基，所以，其傅里叶变换满足(1.7.11)式，于是

- 310 -

1???2k???2k? ??(??2k?)??H0()?()?1

2k???22k????222即

k????H(2?k?)0j???2?(?k?)?2 2?2式中H0(?)实际上是H0(e和k?2p?1，于是，有

)，它是以2?为周期的。现将k按奇、偶分开，即分别令k?2p

p????H(2)0??2?(?2p?)??H0(??)?(?2p???)?2 222p????2??2?2令

?2???，又有：

H0(??)?2p?????(???2p?)2?2?H0(????)2p??????(???2p???)?2?2

由(1.7.11)式，1。因此

p?????(???2p?)?1,作了常数移位后，??(???2p???)也必然等于

2p???

H0(?)?H0(???)?2

22即(10.5.1a)式得证。同理可证明(10.5.1b)式。

由第七章的讨论可知，满足(10.5.1a)和(10.5.1b)的H0(z)及H1(z)分别都是功率互补的，二者是功率对称的。

现在证明(10.5.1c)式。由(1.7.12)式，我们有

k?????(??2k?)?(??2k?)?0 (10.5.3)

???令??2??，则上式变成

k?????(2???2k?)?(2???2k?)?0

?将二尺度差分方程的频域关系代入上式，有

- 311 -