2014年第31届全国中学生物理竞赛复赛试题及答案（全Word版）

利用近似关系式：当x1, ln(1?x)?x，以及 hi/h01, hf/h01，有

hi/h0hi??? ⑧

hi/h0?hf/h0hi?hf

评分标准：本题16分．①②式各3分，④⑤⑥⑦⑧式各2分．

三、（20分）

（1）平板受到重力PC、拉力QM0、铰链对三角形板的作用力NA和NB，各力及其作用点的坐标分别为：

PC?(0,?mgsin?,?mgcos?)，(0,0,h)； QM0?(0,Q,0)， (x0,0,z0)；

NA?(NAx,NAy,NAz)，

b(,0,0)； 2bNB?(NBx,NBy,NBz)， (?,0,0)

2式中

12b2a? h? 34是平板质心到x轴的距离.

平板所受力和（对O点的）力矩的平衡方程为

?F?F?Fx?NAx?NBx?0

① ②

y?Q?NAy?NBy?mgsin??0?NAz?NBz?mgcos??0xz

③

④

?M?mghsin??Q?z0?0?My?NBzbb?NAz?022

⑤

⑥

?Mz?Q?x0?NAy联立以上各式解得

bb?NBy?022

Q?mghsin?， z0NAx??NBx，

NAy?mgsin?2?hb2x0?mgsin?1?(?)N?，By?bzz0?20???hb2x0??1?b(z?z)?

00??1NAz?NBz?mgcos?2

即

QM0?(0,⑦

mghsin?,0)z0，

NA?(NAx,⑧

mgsin?2?hb2x0?1)?,mgcos?)?1?(?z0?2?bz0，

NB?(?NAx,⑨

mgsin?2?hb2x0?1)?,mgcos?)?1?(?z0?2?bz0

（2）如果希望在M(x,0,z)点的位置从点M0(x0,0,z0)缓慢改变的过程中，可以使铰链支点

对板的作用力NBy保持不变，则需 NBy?⑩

M点移动的起始位置为M0，由⑩式得 ? 或

b?2x???

这是过A(,0,0)点的直线.

mgsin?2?hb2x?1?(?)??常量 ??bzz?b2xb2x0???zzz0z0

?b2x0??z??z0z0?

b2

(*)

因此，当力QM的作用点M的位置沿通过A点任一条射线(不包含A点)在平板上缓慢改变时，铰链支点B对板的作用力NBy保持不变. 同理，当力QM的作用点M沿通过B点任一条射线在平板上缓慢改变时，铰链支点A对板的作用力NAy保持不变.

评分标准：本题20分．第（1）问14分，①式1分，②③④⑤⑥式各2分，⑦⑧⑨式各1分；第（2）问6分，⑩?式各1分，(*) 2分，结论正确2分. 四、（24分）

（1）考虑小球沿径向的合加速度. 如图，设小球下滑至? 角位置时，小球相对于圆环的速率为v，圆环绕轴转动的角速度为? ．此时与速率v对应的指向中心C的小球加速度大小为 a1?v ① R2? ?z C r ?l

? ?? ?

R 同时，对应于圆环角速度?，指向OO?轴的小球加速度大小为 (?Rsin?)2 a?? ②

Rsin?该加速度的指向中心C的分量为

(?Rsin?)2 a2?a?sin?? ③

R该加速度的沿环面且与半径垂直的分量为

(?Rsin?)2 a3?a?cos??cot? ④

R由①③式和加速度合成法则得小球下滑至? 角位置时，其指向中心C的合加速度大小为 v2(?Rsin?)2 aR?a1?a2?? ⑤

RR在小球下滑至? 角位置时，将圆环对小球的正压力分解成指向环心的方向的分量N、

垂直于环面的方向的分量T. 值得指出的是：由于不存在摩擦，圆环对小球的正压力沿环的切向的分量为零. 在运动过程中小球受到的作用力是N、T和mg. 这些力可分成相互垂直的三个方向上的分量：在径向的分量不改变小球速度的大小，亦不改变小球对转轴的角动量；沿环切向的分量即mgsin?要改变小球速度的大小；在垂直于环面方向的分量即T要改变小球对转轴的角动量，其反作用力将改变环对转轴的角动量，但与大圆环沿OO?轴的竖直运动无关. 在指向环心的方向，由牛顿第二定律有

v2?(?Rsin?)2 ⑥ N?mgcos??maR?mR合外力矩为零，系统角动量守恒，有

L0?L?2m(Rsin?)2? ⑦

式中L0和L分别为圆环以角速度?0和?转动时的角动量．

如图，考虑右半圆环相对于轴的角动量，在?角位置处取角度增量??， 圆心角??所对圆弧?l的质量为?m???l（??m0），其角动量为 2?R?L??m?r2???l?rRsin????Rr?z???R?S ⑧

式中r是圆环上? 角位置到竖直轴OO?的距离，?S为两虚线间

窄条的面积．⑧式说明，圆弧?l的角动量与?S成正比. 整个圆环（两个半圆环）的角动量为

m0?R21L?2??L?2??R?m0R2? ⑨

2?R22[或：由转动惯量的定义可知圆环绕竖直轴OO?的转动惯量J等于其绕过垂直于圆环平面的对称轴的转动惯量的一半，即

1J?m0R2 ⑧

2则角动量L为

1L?J??m0R2? ⑨ ]

2同理有

1L0?m0R2?0 ⑩

2 力N及其反作用力不做功；而T及其反作用力的作用点无相对移动，做功之和为零；系统机械能守恒. 故

1Ek0?Ek?2?mgR(1?cos?)?2?m[v2?(?Rsin?)2] ?

2式中Ek0和Ek分别为圆环以角速度?0和?转动时的动能．圆弧?l的动能为

111?Ek??m(r?)2???l?2rRsin???R?2?S

222整个圆环（两个半圆环）的动能为

21m012?REk?2??Ek?2???R???m0R2?2 ? 22?R24[或：圆环的转动动能为

11Ek?J?2?m0R2?2 ? ]

24同理有