宁夏银川一中2019届高考数学一模试卷(理科) Word版含解析

23．已知直线l：

（t为参数），曲线C1：

（θ为参数）．

（Ⅰ）设l与C1相交于A，B两点，求|AB|；

（Ⅱ）若把曲线C1上各点的横坐标压缩为原来的倍，纵坐标压缩为原来的C2，设点P是曲线C2上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．

选修4-5；不等式选讲．

24．选修4﹣5；不等式选讲．

设不等式|2x﹣1|＜1的解集是M，a，b∈M． （I）试比较ab+1与a+b的大小； （II）设max表示数集A的最大数．h=max

，求证：h≥2．

倍，得到曲线

宁夏银川一中2015届高考数学一模试卷（理科）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知全集U=R，设集合A={x|y=ln（x﹣1）}，集合B={x|x≥2}，则A∩（CUB）=( ) A． B．（1，2） C．（1，2] D．

分析：首先求出F2到渐近线的距离，利用F2关于渐近线的对称点恰落在以F1为圆心，|OF1|为半径的圆上，可得直角三角形MF1F2，运用勾股定理，即可求出双曲线的离心率． 解答： 解：由题意，F1（0，﹣c），F2（0，c）， 一条渐近线方程为y=x，则F2到渐近线的距离为

=b．

设F2关于渐近线的对称点为M，F2M与渐近线交于A， ∴|MF2|=2b，A为F2M的中点，

又0是F1F2的中点，∴OA∥F1M，∴∠F1MF2为直角， ∴△MF1F2为直角三角形，

222

∴由勾股定理得4c=c+4b

22222∴3c=4（c﹣a），∴c=4a， ∴c=2a，∴e=2． 故选C．

点评：本题主要考查了双曲线的几何性质以及有关离心率和渐近线，考查勾股定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．

12．已知函数f（x）=a（x﹣）﹣2lnx（a∈R），g（x）=﹣，若至少存在一个x0∈，使得f（x0）＞g（x0）成立，则实数a的范围为( ) A．，使得f（x0）＞g（x0）成立， 即f（x）﹣g（x）＞0在x∈，时有解，

设F（x）=f（x）﹣g（x）=a（x﹣）﹣2lnx+=ax﹣2lnx＞0有解，x∈， 即a

，

则F′（x）=，

当x∈时，F′（x）=≥0，

∴F（x）在上单调递增， 即Fmin（x）=F（1）=0， 因此a＞0即可． 故选：D．

点评：本题主要考查不等式有解的问题，将不等式进行转化为函数，利用函数的单调性是解决本题的关键．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．等差数列{an}中，a4+a8+a12=6，则a9﹣a11=．

考点：等差数列的性质． 专题：等差数列与等比数列．

分析：由已知求得a8=2，再由a9﹣a11=（3a9﹣a11）转化为含有a8的代数式得答案． 解答： 解：在等差数列{an}中，由a4+a8+a12=6，得3a8=6，a8=2． 则a9﹣a11=（3a9﹣a11）= （a9+a7+a11﹣a11）=（a9+a7）=a8=． 故答案为：．

点评：本题考查了等差数列的性质，考查了学生的灵活变形能力，是基础题．

14．若α∈（0，π），且3cos2α=sin（

考点：二倍角的正弦． 专题：三角函数的求值．

﹣α），则sin2α的值为1，或﹣．

分析：由题意可得3cosα﹣3sinα==

，分类讨论求得sin2α 的值．

22

cosα﹣sinα，求得cosα﹣sinα=0，或3（cosα+sinα）

解答： 解：∵α∈（0，π），且3cos2α=sin（∴3cosα﹣3sinα=

2

2

﹣α），

cosα﹣sinα，

．

∴cosα﹣sinα=0，或3（cosα+sinα）=若cosα﹣sinα=0，则α=若3（cosα+sinα）=故答案为：1，或﹣

，sin2α=1；

，平方求得sin2α=﹣．

，

点评：本题主要考查二倍角公式、两角和差的正弦公式的应用，属于中档题．

15．在某地的奥运火炬传递活动中，有编号为1，2，3，…，18的18名火炬手．若从中任选3人，则选出的火炬手的编号能组成以3为公差的等差数列的概率为

考点：古典概型及其概率计算公式． 专题：概率与统计．

．

分析：基本事件总数为

=17×16×3，选出火炬编号为an=a1+3（n﹣1），根据分类计算原理可

得共有12种选法，由经能求出所求概率． 解答： 解：基本事件总数m=

=17×16×3，

选出火炬编号为an=a1+3（n﹣1），

当n=1时，由1，4，7，10，13，16可得4种选法， 当n=2时，由2，5，8，11，14，17可得4种选法， 当n=3时，由3，6，9，12，15，18可得4种选法， 根据分类计算原理可得共有12种选法， ∴所求概率为P==故答案为：

．

=

．

点评：本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．

16．在平面直角坐标系xOy中，F是抛物线C：x=2py（p＞0）的焦点，M是抛物线C上位于第一象限内的任意一点，过M，F，O三点的圆的圆心为Q，点Q到抛物线C的准线的距离为．则抛物线C的方程为x=2y．

考点：抛物线的简单性质．

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．

2

2

分析：由已知条件推导出点Q到抛物线C的准线的距离为程．

解答： 解：抛物线C：x=2py（p＞0）的焦点F（0，），

2

=，由此能求出抛物线C的方

设M（x0，），x0＞0，Q（a，b），

由题意知b=，

则点Q到抛物线C的准线的距离为b+=解得p=1，

∴抛物线C的方程为x=2y．

2

故答案为：x=2y．

点评：本题考查抛物线的方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意抛物线的简单性质的灵活运用．

三、解答题：解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤

17．△ABC中内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量=（2sinB，﹣2cos

2

2

==，

），=（cos2B，

﹣1）且∥．

（Ⅰ）求锐角B的大小；

（Ⅱ）如果b=2，求△ABC的面积S△ABC的最大值．

考点：解三角形；平面向量共线（平行）的坐标表示；三角函数中的恒等变换应用． 专题：计算题． 分析：（Ⅰ）由两向量的坐标及两向量平行，利用平面向量平行时满足的条件列出关系式，利用二倍角的正弦、余弦函数公式及同角三角函数间的基本关系化简，求出tan2B的值，由B为锐角，得到2B的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数；

（Ⅱ）由B的度数求出sinB及cosB的值，进而由b及cosB的值，利用余弦定理列出关系式，再利用基本不等式化简求出ac的最大值，再由ac的最大值及sinB的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC面积的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）∵=（2sinB，﹣），=（cos2B，2cos

2

﹣1）且∥，