2021版高考文科数学一轮复习：第五章 第1讲 平面向量的概念及线性运算

[基础题组练]

1．向量e1，e2，a，b在正方形网格中的位置如图所示，则a－b＝( )

A．－4e1－2e2 C．e1－3e2

B．－2e1－4e2 D．3e1－e2

解析：选C.结合图形易得，a＝－e1－4e2，b＝－2e1－e2，故a－b＝e1－3e2.

→→→→

2．已知平面内一点P及△ABC，若PA＋PB＋PC＝AB，则点P与△ABC的位置关系是( )

A．点P在线段AB上 C．点P在线段AC上

B．点P在线段BC上 D．点P在△ABC外部

→→→→→→→→→→→

解析：选C.由PA＋PB＋PC＝AB，得PA＋PB＋PC＝PB－PA，即PC＝－2PA，故点P在线段AC上．

→→→

3．(2020·江西南昌模拟)已知O是正方形ABCD的中心．若DO＝λAB＋μAC，其中λ，

μ∈R，则μ＝( )

A．－2 C．－2

1

B．－ 2D．2

λ

1→1→→→→→→→1→

解析：选A.DO＝DA＋AO＝CB＋AO＝AB－AC＋AC＝AB－AC，所以λ＝1，μ＝－，

222λ

因此＝－2.

μ

→→

4．在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，且BC＝3CD，点O在线段CD上(与点C，→→→

D不重合)，若AO＝xAB＋(1－x)AC，则x的取值范围是( )

10，? A.??2?

1

0，? B.??3?

1

－，0? C.??2?1

－，0? D．??3?

→→→→→→→→→→→

解析：选D.设CO＝yBC，因为AO＝AC＋CO＝AC＋yBC＝AC＋y(AC－AB)＝－yAB＋(1→＋y)AC.

→→

因为BC＝3CD，点O在线段CD上(与点C，D不重合)， 10，?， 所以y∈??3?→→→

因为AO＝xAB＋(1－x)AC， 1

－，0?. 所以x＝－y，所以x∈??3?

→→→1→→

5．已知平面内四点A，B，C，D，若AD＝2DB，CD＝CA＋λCB，则λ的值为 ．

312

解析：依题意知点A，B，D三点共线，于是有＋λ＝1，λ＝.

332

答案： 3

→→→

6．若|AB|＝8，|AC|＝5，则|BC|的取值范围是 ．

→→→→→→→→→

解析：BC＝AC－AB，当AB，AC同向时，|BC|＝8－5＝3；当AB，AC反向时，|BC|＝8→→→→

＋5＝13；当AB，AC不共线时，3<|BC|<13.综上可知3≤|BC|≤13.

答案：[3，13]

→→

7．已知D，E，F分别为△ABC的边BC，CA，AB的中点，且BC＝a，CA＝b，给出下111→1→→→→→

列命题：①AD＝a－b；②BE＝a＋b；③CF＝－a＋b；④AD＋BE＋CF＝0.

2222

其中正确命题的个数为 ．

1→→→1→→

解析：BC＝a，CA＝b，AD＝CB＋AC＝－a－b，故①错；

221→→1→

BE＝BC＋CA＝a＋b，故②正确；

22→1→→1

CF＝(CB＋CA)＝(－a＋b)

2211

＝－a＋b，故③正确；

22

1111→→→

所以AD＋BE＋CF＝－b－a＋a＋b＋b－a＝0.故④正确．

2222所以正确命题的序号为②③④.

答案：3

→

8．如图，EF是等腰梯形ABCD的中位线，M，N是EF上的两个三等分点，若AB＝a，→→→BC＝b，AB＝2DC.

→

(1)用a，b表示AM；

(2)证明：A，M，C三点共线．

11→→→→

－a?＝a＋b， 解：(1)AD＝AB＋BC＋CD＝a＋b＋??2?2又E为AD中点， →1→11

所以AE＝AD＝a＋b，

242

→→

因为EF是梯形的中位线，且AB＝2DC， 113→1→→

a＋a?＝a， 所以EF＝(AB＋DC)＝?22?2?4

→1→1

又M，N是EF的三等分点，所以EM＝EF＝a，

34→→→111

所以AM＝AE＋EM＝a＋b＋a

42411＝a＋b. 22

→2→1

(2)证明：由(1)知MF＝EF＝a，

32→→→11→

所以MC＝MF＋FC＝a＋b＝AM，

22

→→

又MC与AM有公共点M，所以A，M，C三点共线．

[综合题组练]

→

1．已知等边三角形ABC内接于⊙O，D为线段OA的中点，则BD＝( ) 2→1→A.BA＋BC 361→1→C.BA＋AE 63

4→1→

B.BA－BC 362→1→D．BA＋AE

33

→→→→1→→1→→

解析：选A.如图所示，设BC的中点为E，则BD＝BA＋AD＝BA＋AE＝BA＋(AB＋BE)

33

→1→11→2→1→

＝BA－BA＋·BC＝BA＋BC.故选A.

33236

1→1→→→2.如图，A，B分别是射线OM，ON上的点，给出下列向量：①OA＋2OB；②OA＋OB；

233→1→3→1→3→1→

③OA＋OB；④OA＋OB；⑤OA－OB.若这些向量均以O为起点，则终点落在阴影区434545域内(包括边界)的有( )

A．①② C．①③

B．②④ D．③⑤

解析：选B.在ON上取点C，使得OC＝2OB，以OA，OC为邻边作平行四边形OCDA，1→→→

则OD＝OA＋2OB，其终点不在阴影区域内，排除A，C；取OA上一点E，作AE＝OA，

4113→1→

作EF∥OB，交AB于点F，则EF＝OB，由于EF

4343区域内，排除选项D.

→→

3．(2020·广州综合测试(一))设P是△ABC所在平面内的一点，且CP＝2PA，则△PAB与△PBC的面积的比值是 ．

→

|CP|2→→

解析：因为CP＝2PA，所以＝，又△PAB在边PA上的高与△PBC在边PC上的高相

→1|PA|→|PA|1

等，所以＝＝.

→2S△PBC|CP|

S△PAB

1

答案： 2

→→→→→

4．(2020·江西临川一中、南昌二中5月联考)在△ABC中，BD＝DC，AP＝2PD，BP＝→→

λAB＋μAC，则λ＋μ＝ ．

→→→→

解析：因为BD＝DC，AP＝2PD，所以P为△ABC的重心．

→1→1→

易知D为BC的中点，所以AD＝AB＋AC.

22→3→1→1→

所以AD＝AP＝AB＋AC.

222→1→1→

所以AP＝AB＋AC.

33

2→1→→→→

所以BP＝AP－AB＝－AB＋AC.

33

211→→→

因为BP＝λAB＋μAC，所以λ＝－，μ＝，所以λ＋μ＝－.

3331

答案：－

3