2020届高三数学精准培优专练十一 数列求通项公式（理） 学生版

精准培优专练

解法二：数列变形为，

令n?1，淘汰D选项，令n?2，淘汰A，B选项．

0246，，，L分子、分母都是等差数列，分子2(n?1)，分母2n?1． 1357故选C． 2．【答案】C

【解析】当n?2时，an?Sn?Sn?1?2n?3；

当n?1时，a2n?3(n?N*1?S1??1，所以an?)，所以a2?a18?34，故选C．

3．【答案】C

【解析】根据题意，由a22a*a2n?1?an?2n?1?an(n?N)，得(n?1?an)?0，即an?1?an．

由a1?2，得an?2，则数列{an}前32项和S32?2?32?64，故选C． 4．【答案】C

【解析】当n?1时，a1?3； 当n?2时，a3n?Sn?Sn?1?2(a3n?1)?2(an?1?1)， 得到a3ann?n?1，所以an?3．故选C．

5．【答案】D

【解析】由已知条件可知，当n?2时，

an?a1?(a2?a1)?(a3?a2)?L?(an?an?1)?33?2?4?L?2(n?1)?n2?n?33．

又n?1时，a1?33满足此式．

所以ann?n?33n?1． 令f(n)?an33n?n?n?1，则f(n)在[1,5]上为减函数，在[6,??)上为增函数，

又f(5)?535，f(6)?212，则f(5)?f(6)， 故f(n)?an21n的最小值为2，故选D．

6．【答案】B 【解析】由a2an1a?2n?1?a，可得?n11n?2a??． n?12anan2

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?1?11所以数列?a?是以?1为首项，公差为的等差数列，

?n?a12所以

1a?n?1，即a2n??1． n2n7．【答案】B 【解析】由a1?35???1?1?1??2,1??，得a2?2a1?1?5???0,2??， 所以a23?2a2?5????0,1?2??，所以a4?1?34?2a3?5???2,1??，所以a5?2a4?1?5?a1．由此可知，该数列是一个周期为4的周期数列， 所以a22019?a504?4?3?a3?5． 8．【答案】B

【解析】∵a1n?1?ann?1?3?2，∴a3n?1?1n?2?an?2， 又∵an?1?12，∴3n?1?12?an?1?1n?2?an?3n?2?an?32，

∵a?Z，∴an?1nn?2?an?Z，则an?2?an?3，

于是得到a34?a4141?4324,a45?4a43?432,4???4,a201944?4a201744?3201843，

1009个

上述所有等式全部相加得a2019?a241?3?3?L?32018?32(1?91009)1?9?32020?98，

2020因此a?a32020?93?932020?120191?8?1?8?8，故选B．

二、填空题 n(n?1)9．【答案】an?22

【解析】由ann?1n?1?2?aan，得

na?2(n?2)， n?1

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n(n?1)anan?1a2n?1n?21?2?3?L?(n?1)所以an??????a1?2?2???2?1?2?22，

an?1an?2a1又a1?1适合上式，故an?210．【答案】2020

n(n?1)2．

2222【解析】当n为奇数时，an?an?1?n?(n?1)?(n?1)?(n?2)?2，

为定值，所以a1?a2?a3?L?a2020?2?20202?2020． 故填2020． 11．【答案】97

【解析】由题意可得该数阵中的第10行，

第3个数为数列{an}的第1?2?3?L?9?3?9?102?3?48项， 而a?1)4848?(?96?1?97，故该数阵第10行、第3个数为97．

三、解答题

12．【答案】（1）a7n9?1)；（2）an?1n?3n?(10n?(?1)?n；（3）an?4?(?1)n；

?（4）(n?2k?1,k?N*)a?n?1n??2,．

?n?22,(n?2k,k?N*)【解析】（1）将各项改写如下，

79(10?1)，79(102?1)，79(103?1)，79(104?1)，L，

易知a7nn?9(10?1)．

（2）将各项绝对值改写如下，

451，2，63，74，85，L．

a????3,(n?2k?1,k?N*)n??5,(n?2k,k?N*)或11 精准培优专练

综合考查分子、分母，以及各项符号可知an?(?1)n?1?n?3． n*?(3?5)?(?1)n?1(3?5)?3,(n?2k?1,k?N)n?4?(?1)（3）an??或an?．

*2??5,(n?2k,k?N)（4）观察数列{an}可知，奇数项成等差数列，偶数项成等比数列，

?n?1?2,所以an???n2?2,(n?2k?1,k?N*)(n?2k,k?N*)．

13．【答案】（1）数列中有两项是负数，n?2或3时，an有最小值，最小值为a2?a3??2；（2）(?3,??)． 【解析】（1）由n2?5n?4?0，解得1?n?4．

因为n?N*，所以n?2,3，所以数列中有两项是负数，即为a2，a3．

5?9?因为an?n2?5n?4??n???，

2?4?由二次函数性质，得当n?2或n?3时，an有最小值，其最小值为a2?a3??2． （2）由于对于n?N*，都有an?1?an知该数列是一个递增数列，

2又因为通项公式an?n?kn?4，可以看作是关于n的二次函数，考虑到n?N*，

2 所以?k3?，即得k??3． 22所以实数k的取值范围为(?3,??)． 14．【答案】（1）an?2n?1；（2）

n．

3(2n?3)22【解析】（1）由an?2an?4Sn?3，可知an?1?2an?1?4Sn?1?3．

22可得an?1?an?2(an?1?an)?4an?1，

22即2(an?1?an)?an?1?an?(an?1?an)(an?1?an)．

由于an?0，可得an?1?an?2．

2又a1?2a1?4a1?3，解得a1??1（舍去）或a1?3．

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所以{an}是首项为3，公差为2的等差数列，通项公式为an?2n?1．

（2）由an?2n?1可知，b1a?1n?3)?1?2?1?2n?1?1?2n?3??． nan?1(2n?1)(2n?设数列{bn}的前n项和为Tn，则Tn?b1?b2?L?bn

?12[(13?15)?(15?17)?L?(12n?1?12n?3)]?n3(2n?3)．

15．【答案】（1）证明见解析；（2）13．

【解析】（1）证明：由2an?1n?an?1?3?2(n?2)，得

an2n?1an?134?2n?1?4， 所以

an2n?1?14(an?12n?1?1)(n?2)． 由2an?1n?an?1?3?2(n?2)，可得2a2?a1?6，

又3a1?2a2，所以2a1?6，得a1?3．

所以数列{an2n?1}是以12为首项，14为公比的等比数列． （2）由（1）知an2n?1?12?(14)n?1?(12n?12)，所以ann?2(21?2n?1)?21?n?2n． 所以S12?L?123nn?(1?2n?1)?(2?2?2?L?2)

1?(1)n?2?2(1?2n)?2?2n?21?n， 1?11?221a?111?nn2n?21?n?3?2n，

n?Sn2?2?2?所以T1n?3(12?14?L?11112n)?3(1?2n)?3， 因为对?n?N*，T1n?m，所以m的最小值为3．

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