复数的三角形式 乘法及其几何意义练习版

复数的三角形式 乘法及其几何意义

1、复数的三角形式及运算

(1)复数的幅角：设复数Z=a＋bi对应向量

，以x轴的正半轴为始边，向量

所在的射线(起点为O)

为终边的角θ，叫做复数Z的辐角，记作ArgZ，其中适合0≤θ<2π的辐角θ的值，叫做辐角的主值，记作argZ． 说明：不等于零的复数Z的辐角有无限多个值，这些值中的任意两个相差2π的整数倍．

(2)复数的三角形式：r(cosθ＋isinθ)叫做复数Z=a＋bi的三角形式，其中．

说明：任何一个复数Z=a＋bi均可表示成r(cosθ＋isinθ)的形式．其中r为Z的模，θ为Z的一个辐角． (3)复数的三角形式的运算：

设Z=r(cosθ＋isinθ)，Z1=r1(cosθ1＋isinθ1)，Z2=r2(cosθ2＋isinθ2)．则

2、复数的几何意义

(1)复数模的几何意义：即Z1点到Z2点的距离． (2)复数加、减法的几何意义

，即Z点到原点O的距离，一般地|Z1－Z2|

图中给出的平方四边形，可以直观地反映出复数加、减法的几何意义． 即Z=Z1＋Z2，．

(3)复数乘、除法的几何意义：

设Z1=r1(cosθ1＋isinθ1)，则ZZ1的几何意义是把Z的对应向量时针方向旋转一个角θ1(如果θ1＜0，就要把

按逆

按顺时针方向旋转一个角

|θ1|，再把它的模变为原来的r1倍，所得向量即表示积ZZ1，如图，Z1≠0,的几何意义是把Z的对应向量

按顺时针方向旋转一个角θ1(如果θ1＜0，就要把按逆时针方向旋转一个角|θ1|，再把它的模变为原来的倍，

所得的向量即表示商.

概念：1、复数的三角形式：设|z|=r（r≥0），辐角主值：argz=?，

那么复数z=

2、复数三角形式的几点要求：⑴ ⑵ ⑶ 3、回顾练习：

⑴下列那一个是复数的三角形式： (A)

11??14?4?6?6???(cos-isin) (B) -(cos+isin) (C)(sin+icos) (D)cos+isin

3322442555531?i? ; 22⑵把下列复数化为三角形式： -3= ；

一、 复数的三角形式的乘法运算：

1、定理：设z1=r1(cos?+isin?)，z2=r2(cos?+isin?)，r1≥0,r2≥0 那么：z1·z2=

此定理用语言叙述为： 【例题1】

1、求下列复数的积： ①2(cos

????+isin)?3(cos+isin) 121266②3(cos75o+isin75o) ?3(cos15o+isin15o)

③(cos3A+isin3A) ? (cos2A-isin2A)

定理的推广：设zn=rn(cos?n+isin?n),其中rn≥0

于是：z1z2z3…zn=r1r2r3…rn[cos(?1+?2+?3+…+?n)+isin(?1+?2+?3+…+?n)]

n

（当?1=?2=?3=…=?n 时z1=cosna+isinna）

1、将下列乘积的结果直接写出：(如果没有特别声明，计算结果一般保留代数形式) ⑴8(cos

????+isin)?2 (cos+isin)= 661212⑵8(cos240o+isin240o)?2 (cos150o-isin150o)=

⑶3(cos18o+isin18o) ?2 (cos54o+isin54o) ?5 (cos108o+isin108o)=

z r1r2 y ??⑷|3(cos-isin)? (1+i) ?2(sin22o+icos22o)|=

1212二、复数乘法的几何意义：

⑴两个复数z1、z2相乘时，可以先画出分别与z1、z2对应的向量

Z2 r 2OZ1、OZ2，然后把向量OZ2按逆时针方向旋转?1（?1<0如何？）

再把模变为原来的r1倍，所得的向量OZ就表示积z1z2.

r1 O M Z1 x *特征：旋转+伸缩变换

⑵向量的旋转与伸缩可以转化为两个复数的乘积.

【例题2】试说明下列乘法运算可以看成对应向量的如何变化： ⑴8(cos

????+isin)?2 (cos+isin)： 661212⑵8(cos240o+isin240o)?2 (cos210o-isin210o)：

⑶3(cos18o+isin18o) ?2 (cos54o+isin54o) ? (cos108o+isin108o)： 【例题3】

1、OZ对应复数-1+i,将OZ按逆时针方向旋转120o后得到OZ?， 求OZ?对应复数z

Z 120o y

O x Z? y O Z x 12、（2000全国）把复数3-3i对应向量按顺时针方向旋转?，所得向量对应复数为( )

3Z

(A)23 (B) -23i (C) 3-3i (D) 3+3i

3、ZA=1,ZB=3+2i,并且ABCD是按逆时针方向排列的正方形的四 个顶点，求ZC与ZD.

y D B O A x y Z C ·O x 第反馈2题 【反馈练习2】如果向量OZ对应复数4i，OZ逆时针旋转45o后再把模变为原来的2倍得到向量OZ1，那么与

OZ1对应的复数是

2、正⊿ABC的顶点A、B、C对应复数ZA、ZB、ZC，点A、B、C按逆时针顺序排列，那么（ ） (A) ZC=(ZB-ZA) ? (cos60o+isin60o) (B) ZC=(ZB-ZA) ? (cos60o-isin60o) (C) ZC=ZB? (cos60o+isin60o) (D) ZC=ZA+(ZB-ZA) ? (cos60o+isin60o) 三、知识小结：(1)、积的模等于模的积，积的辐角等于辐角之和 (2)、复数的乘法?向量的旋转与伸缩

(3)、做复数的乘法运算时，三角形式和代数形式可以交替使用，但是结果一般保留代数形式. 四、练习

1、已知0＜α＜π，且，复数Z=tanα－i．

(1)求Z的三角形式； (2)若|Z|＜2，

求argZ的取值范围．

z2?3z?6的模和辐角主值。 2. 已知复数z?1?i， 求复数

z?1

3. 求复数1?（

4. 已知复数z1,z2，满足z1?1，z2?1且z1?z2??????5??0的最小自然数n。 5. 求使??33?i????22?n3?i7）的模及辐角主值。 271?i，求z1?z2的值。 55

??6. 设z?z?（1?2i)z?(1?2i)z?3, （1）求z的最大值和最小值。

（2）求复数z的实部和虚部之和的最大值和最小值。

7. 已知2z?3?i?1，（1）求|z|的最值；（2）求argz的取值范围。