专题6.1 导数中的构造函数-2020届高考数学压轴题讲义（选填题）（原卷版）

【方法综述】

函数与方程思想、转化与化归思想是高中数学思想中比较重要的两大思想，而构造函数的解题思路恰好是这两种思想的良好体现，尤其是在导数题型中．在导数小题中构造函数的常见结论：出现nf?x??xf??x?形式，构造函数F?x??xf?x?；出现xf??x??nf?x?形式，构造函数F?x??nf?x?；出现f??x??nf?x?形nxf?x?． enx式，构造函数F?x??ef?x?；出现f??x??nf?x?形式，构造函数F?x??nx【解答策略】

类型一、利用f?x?进行抽象函数构造 1．利用f?x?与x（xn）构造 常用构造形式有xf?x?，

f?x?u；这类形式是对u?v，型函数导数计算的推广及应用，我们对u?v，xvuu的导函数观察可得知，u?v型导函数中体现的是“?”法，型导函数中体现的是“?”法，由此，我们可vv以猜测，当导函数形式出现的是“?”法形式时，优先考虑构造u?v型，当导函数形式出现的是“?”法形式时，优先考虑构造

u． v是定义在上的可导偶函数，若当

时，

例1.【2019届高三第二次全国大联考】设

，则函数

A．0 C．2

【指点迷津】设在

，当

的零点个数为 B．1 D．0或2 时，

，可得当

时，

，故函数

上单调递减，从而求出函数的零点的个数．

的定义域是

，其导函数为

，若

【举一反三】【新疆乌鲁木齐2019届高三第二次质量检测】

，且

（其中是自然对数的底数），则

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A．C．当

时，

取得极大值

B．D．当

时，

2．利用f?x?与ex构造

uf?x?与ex构造，一方面是对u?v，函数形式的考察，另外一方面是对?ex???ex的考察．所以对于

vf?x??f??x?类型，我们可以等同xf?x?，

“?”法优先考虑构造F?x??f?x?x的类型处理， “?”法优先考虑构造F?x??f?x??e， xf?x?． xe是函数，若不等式

的导函数，且对任意的实数都

的解集中恰有两个整

例2、【湖南省长郡中学2019届高三下学期第六次月考】已知有

是自然对数的底数），

数，则实数的取值范围是（ ）

A． B．

，可得

C．，可设

D．

，

，解得

，

【指点迷津】令

，利用导数研究其单调性极值与最值并且画出图象即可得出．

【举一反三】【安徽省黄山市2019届高三第二次检测】已知函数实数x，都有（ ）

，当

时

，若

是定义在上的可导函数，对于任意的

，则实数a的取值范围是

A． B． C． D．

3．利用f?x?与sinx，cosx构造

sinx，cosx因为导函数存在一定的特殊性，所以也是重点考察的范畴，我们一起看看常考的几种形式．

F?x??f?x?sinx，F??x??f??x?sinx?f?x?cosx；

F?x??f?x?f??x?sinx?f?x?cosx，F??x??； 2sinxsinxF?x??f?x?cosx，F??x??f??x?cosx?f?x?sinx；

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f?x?f??x?cosx?f?x?sinx?F?x??，F?x??．

cosxcos2x例3、已知函数y?f?x?对于任意x???????,?满足f??x?cosx?f?x?sinx?0（其中f??x?是函数22??，则下列不等式不成立的是（ ） f?x?的导函数）A．2f????????????? B．2f??f?f????????

334???4???????????2f?? D．f?0??2f?? ?4??3?C．f?0??【指点迷津】满足“f??x?cosx?f?x?sinx?0”形式，优先构造F?x??和数形结合求解即可．注意选项的转化． 类型二 构造具体函数关系式

f?x?，然后利用函数的单调性cosx这类题型需要根据题意构造具体的函数关系式，通过具体的关系式去解决不等式及求值问题． 1.直接法：直接根据题设条件构造函数 例4、?，????????,?，且?sin???sin??0，则下列结论正确的是（ ） ?22?22A．??? B．??? C．??? D．????0 【指点迷津】根据题目中不等式的构成，构造函数f?x??xsinx，然后利用函数的单调性和数形结合求解即可．

【举一反三】【福建省2019届备考关键问题指导适应性练习（四)】已知函数于的方程A．

在区间B．

内有两个实数解，则实数的取值范围是( )

C．

D．

，

，若关

【指点迷津】根据题目中方程的构成，构造函数即可．

2. 参变分离，构造函数

，然后利用函数的单调性和数形结合求解

例5.【云南省玉溪市第一中学2019届高三下学期第五次调研】 设为函数的导函数，且满足

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A．

【指点迷津】根据

B．

，若C．

恒成立，则实数的取值范围是（ ） D．

，通过构造函数，进一步确定

的单调性，即可求解.

，

有且仅有

，变形可得

的最大值，利用导数，结合

【举一反三】【河北省唐山市2019届高三下学期第一次模拟】设函数一个零点，则实数的值为（ ） A．

【强化训练】 一、选择题

1．【山西省2019届高三百日冲刺】已知函数则的取值范围为（ ） A．

B．

C．

的导函数

D．满足

，若对任意的

B．

C．

D．

，恒成立，

2．【海南省海口市2019届高三高考调研】已知函数恒成立，则下列判断一定正确的是（ ） A．C．

B．D．

对

有三个零点，则实数的取值范围是( )

3【．辽宁省抚顺市2019届高三一模】若函数A．C．

B．D．

，若

是函数

4．【辽宁省师范大学附属中学2019届高三上学期期中】已知函数

的唯一极值点，则实数k的取值范围是（ ）

A．

B．

C．

D．

5．【2019届山西省太原市第五中学高三4月检测】已知函数上无零点，则（ ）

，若函数在

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