2014届高考数学一轮轻松突破复习 1.4.2平面向量基本定理及坐标表示 文

2014届高考数学一轮轻松突破 1.4.2平面向量基本定理及坐标表示

文

一、选择题

311

1．设a＝(sinx，)，b＝(，cosx)，且a∥b，则锐角x＝( )

432πππ5π

A. B. C. D. 64312

311

解析：∵a＝(sinx，)，b＝(，cosx)，且a∥b，

43213111

∴sinxcosx－×＝0，即sin2x－＝0. 24344∴sin2x＝1.

ππ又∵x为锐角，∴2x＝，x＝.

24答案：B

→→

2．已知四边形ABCD的三个顶点A(0,2)，B(－1，－2)， C(3,1)，且BC＝2AD，则顶点D的坐标为( )

1??7??A.?2，? B.?2，－? 2??2??C．(3,2) D．(1,3)

??2m＝4

解析：设点D(m，n)，则由题意得(4,3)＝2(m，n－2)＝(2m,2n－4)，?

??2n－4＝3

，由此解

7?7?得m＝2，n＝，点D?2，?，选A.

2?2?答案：A

→→

3．已知A(－3,0)，B(0，3)，O为坐标原点，点C在∠AOB内，且∠AOC＝60°，设OC＝λOA→

＋OB，则实数λ等于( ) A.

31

B.3 C. D．3 33

→→→→→→→解析：由OC＝λOA＋OB，得λOA＝OC－OB＝BC， →→

∴OA与BC共线．

设C(x，3)(x＜0)，∵∠AOC＝60°，∴∠BOC＝30°. →|x|3

∴＝tan30°＝.∴x＝－1.∴BC＝(－1,0)．

33

- 1 -

→1∵OA＝(－3,0)，∴λ＝.

3

答案：C

→

4．平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A(3,1)，B(－1,3)，若点C(x，y)满足OC＝→→

αOA＋βOB，其中α，β∈R，且α＋β＝1，则x，y满足的关系式为( ) A．3x＋2y－11＝0 B．(x－1)2＋(y－1)2＝5 C．2x－y＝0 D．x＋2y－5＝0

→→→

解析：由OC＝αOA＋βOB，得(x，y)＝(3α－β，α＋3β)．

?x＝3α－β，?∴???y＝α＋3β.

3x＋yα＝，??10∴?－x＋3y

β＝.??10

∵α＋β＝1，∴x＋2y－5＝0. 答案：D

5．若P＝{α|α＝(－1,1)＋m(1,2)，m∈R}，Q＝{β|β＝(1，－2)＋n(2,3)，n∈R}是两个向量集合，则P∩Q＝( )

A．{(1，－2)} B．{(－13，－23)} C．{(－2,1)} D．{(－23，－13)} 解析：P中，α＝(－1＋m,1＋2m)， Q中，β＝(1＋2n，－2＋3n)．

??－1＋m＝1＋2n，∴?

?1＋2m＝－2＋3n.??m＝－12，?∴???n＝－7.

此时α＝β＝(－13，－23)． 答案：B

m

6．设两个向量a＝(λ＋2，λ2－cos2α)和b＝(m，＋sinα)，其中λ，m，α为实数．若

2λ

a＝2b，则的取值范围是( )

mA．[－6,1] B．[4,8] C．(－∞，1] D．[－1,6]

??λ＋2＝2m，①

解析：由a＝2b知?

?λ2－cos2α＝m＋2sinα.②?

- 2 -

??λ＝2m－2∴?

?λ2－m＝cos2α＋2sinα?

又∵cos2α＋2sinα＝－sin2α＋2sinα＋1 ＝－(sinα－1)2＋2

∴－2≤cos2α＋2sinα≤2

∴－2≤λ2－m＝(2m－2)2－m≤2 1

∴≤m≤2. 4

λ2m－22∴＝＝2－∈[－6,1]． mmm答案：A 二、填空题

7．已知向量a＝(3，1)，b＝(0，－1)，c＝(k，3)，若a－2b与c共线，则k＝________. 解析：a－2b＝(3，3)，根据a－2b与c共线，得方程3k＝3·3，解得k＝1. 答案：1

8．设向量a，b满足|a|＝25，b＝(2,1)，且a与b的方向相反，则a的坐标为________． 解析：设a＝(x，y)，x＜0，y＜0，则x－2y＝0且x2＋y2＝20，解得x＝4，y＝2(舍去)，或者x＝－4，y＝－2，即a＝(－4，－2)． 答案：(－4，－2)

→→→

9．设OA＝(1，－2)，OB＝(a，－1)，OC＝(－b,0)，a＞0，b＞0，O为坐标原点，若A，B，C12

三点共线，则＋的最小值是________．

ab

→→→→→→

解析：AB＝OB－OA＝(a－1,1)，AC＝OC－OA＝(－b－1,2)． →→

∵A、B、C三点共线，∴AB∥AC. ∴

a－11

＝. －b－12

b4ab4a

·＝8，当且仅当＝时取等号． abab

∴2a＋b＝1.

122a＋b4a＋2bb4a

∴＋＝＋＝4＋＋≥4＋2 ababab12

∴＋的最小值是8. ab

答案：8 三、解答题

10．已知向量a＝(sinθ，cosθ－2sinθ)，b＝(1,2)． (1)若a∥b，求tanθ的值；

(2)若|a|＝|b|,0＜θ＜π，求θ的值．

1

解析：(1)因为a∥b，所以2sinθ＝cosθ－2sinθ，于是4sinθ＝cosθ，故tanθ＝.

4(2)由|a|＝|b|知，sin2θ＋(cosθ－2sinθ)2＝5，所以 1－2sin2θ＋4sin2θ＝5.

- 3 -

从而－2sin2θ＋2(1－cos2θ)＝4，即sin2θ＋cos2θ＝－1，于是sin(2θ＋

π2)＝－. 42

ππ9ππ5ππ7π

又由0＜θ＜π知，＜2θ＋＜，所以2θ＋＝或2θ＋＝. 4444444π3π

因此θ＝，或θ＝.

24

→→→

11．已知点O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)及OP＝OA＋tAB，试问：

(1)t为何值时，P在x轴上？在y轴上？P在第二象限？

(2)四边形OABP能否成为平行四边形？若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由． →

解析：(1)AB＝(3,3)， →→→

OP＝OA＋tAB＝(1＋3t,2＋3t)．

2

若P在x轴上，则2＋3t＝0，解得t＝－；

31

若P在y轴上，则1＋3t＝0，解得t＝－；

3

??1＋3t＜0

若P在第二象限，则?

??2＋3t＞0

21

，解得－＜t＜－. 33

→→→→

(2)∵OA＝(1,2)，PB＝PO＋OB＝(3－3t,3－3t)， 若四边形OABP为平行四边形，

?3－3t＝1，→→?

则OA＝PB，而?

??3－3t＝2，

无解，

∴四边形OABP不能成为平行四边形．

→

12．在?ABCD中，A(1,1)，AB＝(6,0)，点M是线段AB的中点，线段CM与BD交于点P. →

(1)若AD＝(3,5)，求点C的坐标； →→

(2)当|AB|＝|AD|时，求点P的轨迹． 解析：(1)设点C坐标为(x0，y0)， →→→

又AC＝AD＋AB＝(3,5)＋(6,0)＝(9,5)， 即(x0－1，y0－1)＝(9, 5)，

∴x0＝10，y0＝6，即点C(10,6)． →→

(2)由三角形相似，不难得出PC＝2MP， 设P(x，y)，则

→→→

BP＝AP－AB＝(x－1，y－1)－(6,0)

- 4 -

＝(x－7，y－1)， →→→1→→AC＝AM＋MC＝AB＋3MP

21→?→1→?＝AB＋3?AP－AB? 22??→→＝3AP－AB

＝(3(x－1)，3(y－1))－(6,0) ＝(3x－9,3y－3)，

→→

∵|AB|＝|AD|，∴?ABCD为菱形，∴AC⊥BD. →→

∴AC⊥BP，即(x－7，y－1)·(3x－9,3y－3)＝0.

(x－7)(3x－9)＋(y－1)(3y－3)＝0， ∴x2＋y2－10x－2y＋22＝0(y≠1)． ∴(x－5)2＋(y－1)2＝4(y≠1)．

故点P的轨这是以(5,1)为圆心，2为半径的圆去掉与直线y＝1的两个交点． - 5 -