13春 数学物理方法 海大

2013年春

一、判断题(正确的划“?”,错误的划“?”。12分)

1. u(x,y)?x2y2是某个解析函数f(z)?u(x,y)?iv(x,y)的实部。 （ 错 ） 2. 常函数是唯一的一类有界整函数。 （ 对 ） 3. 分式线性变换具有保角性。 （ 对 ） 4. 当z?0时，Arg(z2)?2Arg(z)。 （ 错 ）

5. 称定解问题是适定的, 是指这个定解问题的解存在，唯一且稳定。 （ 对 ）

6. 若f(z)?u(x,y)?iv(x,y)在一点满足柯西-黎曼条件, 则函数在该点可导。（ 错 ）

二、填空题(每空3分，共18分)

1. 幂级数?2nz2n的收敛半径R? ，

n?0??2 2 和函数f(z)? 。

1 1?2z22. 变换f(z)?z2在z?i处的旋转角为 。? 3. f(z)?e在?处的留数为 。1 1?z1zz24. z?0是f(z)?的 阶极点。 5

(1?cosz2)sinz35. 积分

1dz? 。 0 (偶函数) 2?sinzz?1三、计算、证明题(共5题，每题6分，共30分) 1. 将函数f(z)?1在z?1内展成幂级数，在0?z?1?1内展成罗

(1?z)(2?z)---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 第1页 共2页 ＋ ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------＋----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

朗级数。 2. 计算实积分?????cosxdx。 21?x3．设f(z)在区域D上解析，且f(z)在D上是一常数，证明f(z)在D上必为常函数。

4．计算?CRezdz之值， 其中C是连接原点到1点再到1?i点的折线。 5．求u?exsiny的共轭调和函数。

四、应用题(共4题，每题10分，共40分)

1. 有一根长为1的弦，其两端被钉子钉紧，作自由振动，它的初始位移为sin3?x，初速度为0。

（1）列出弦所满足的方程及定解条件； （2）解出该弦振动方程的付氏解。

2. 用达朗贝尔方法解下列弦振动方程的古尔萨问题

x?R,?utt?uxx，??u(x,x)?sin2x,x?R, ?u(x,?x)?2x,x?R.?3．求解下列热传导方程的初值问题

?ut?uxx?0,(t?0, x?R), ?u(x,0)??(x),(x?R).?4. 用拉普拉斯变换法解下列常微分方程初值问题

?y''?y?f(t), ?y(0)?y'(0)?0.?---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 第2页 共2页 ＋ ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------＋----------------------------------------------------------------------------------------------------------------