广东省广州市届普通高中毕业班月综合测试一理科数学

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2014年广州市普通高中毕业班综合测试（一）

数学（理科）第21题另解

广东省惠东高级中学陈必禄(cbl069@126.com)

21．（本小题满分14分）

已知函数f?x??x2?2x?1ex（其中e为自然对数的底数）． （1）求函数f(x)的单调区间；

（2）定义：若函数h?x?在区间?s,t??s?t?上的取值范围为?s,t?，则称区间?s,t?为

函数h?x?的“域同区间”．试问函数f(x)在?1,???上是否存在“域同区间”？若存在，求出所有符合条件的“域同区间”；若不存在，请说明理由． 21．解：（1）因为f?x??x?2x?1e，（苏元高考吧：www.gaokao8.net）

2x

????所以

f?(x?x?x?x2?x?x??x2?1?ex?(x?x?x． ------------------1)分

当x??1或x?1时，f??x??0，即函数f(x)的单调递增区间为???,?1?和?1,???． 当?1?x?1时，f??x??0，即函数f(x)的单调递减区间为??1,1?．

所以函数f(x)的单调递增区间为???,?1?和?1,???，单调递减区间为

??1,1?． -----------3分

（2）(官方答案)

解法1：假设函数f(x)在?1,???上存在“域同区间”[s,t](1?s?t)， ----------4分

由（1）知函数f(x)在?1,???上是增函数，

?(s?1)2?es?s,?f(s)?s,所以? 即? 2t?f(t)?t.?(t?1)?e?t.-----------------------------------5分

也就是方程(x?1)e?x有两个大于1的相异实根． -----------------------------------6分

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设g(x)?(x?1)e?x(x?1)，则

2xg?(x)?(x2?1)ex?1． -----------------------------------7分

设h?x??g?(x)?(x?1)e?1，则

2xh??x???x2?2x?1?ex．-----------------------------------8分

因为在(1,??)上有h??x??0，所以h?x?在?1,???上单调递增．------------------------------9分

因为h?1???1?0，h?2??3e?1?0，

2即存在唯一的x0??1,2?，使得

h?x0??0． -----------------------------------10分

当x??1,x0?时，h?x??g??x??0，即函数g(x)在?1,x0?上是减函数； 当x??x0,???时，h?x??g??x??0，即函数g(x)在?x0,???上是增函数．-------------11分

因为g?1???1?0，g(x0)?g(1)?0，g(2)?e?2?0，

2所以函数g(x)在区间?1,???上只有一个零点． -----------------------------------12分

这与方程(x?1)e?x有两个大于1的相异实根相矛盾，所以假设不成立．----------------13分

所以函数f(x)在?1,???上不存在“域同区间”． -----------------------------------14分

（2）假设函数f(x)在?1,???上存在“域同区间”[s,t](1?s?t)， ----------------4分

由（1）知函数f(x)在?1,???上是增函数，

2x?(s2?2s?1)?es?s,?f(s)?s,所以? 即?2 tf(t)?t.(t?2t?1)?e?t.??-----------------------------------5分

）e?x有两个大于1的相异实也就是方程(x?2x+12x本文档为word文档 下载后可编辑打印