《复变函数》作业(4)：第7章和第8章

作业4

第7章 残数及其应用

一、单项选择题

1.若f(z)?1z(z?1)，则Res(f,1)?（ ）．

(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3

2. 若f(z)?1z，则Res(f,0)?Res(f,?)?（ ）．

(A) 0 (B) ?1 (C) 4 (D) i

3.若f(z)?1(z?2)(z?3)，则?f(z)dz?（ ）．

z?5 (A) 0 (B) ?i (C) i (D)

14 4.若点a为f(z)的可去奇点，则Res(f,a)?（ ）．

(A) 12 (B) ?12 (C) 0 (D) i

二、填空题

1.若点a为f(z)的一级极点，则Res(f,a)? ．

2.若点a为f(z)g(z)的一级极点，则Res(f,a)? ．

3.若f(z)?5z25?6z10?16z4?2，则f(z)在z?1内有 个零点． 4. 7z6dz? ． z?7?2z?1 三、计算题

1.计算函数f(z)?(1?z)(z2?2z)?1在点z?0,z?2的残数． 2.计算函数f(z)?(sinz)?1在点z?nπ（n为自然数）的残数．

3.计算积分?1(z2?1)(z2?4)dz，c:z?3． c 4.计算积分?2π10a?cos?d?,a?1． 四、证明题

1.证明：aπ???eix??x2?a2dx?1ea?0． 2.证明：

3??x2π???x4?x2?1dx?1?0． 1

第8章 保形映射

一、单项选择题

1. w?z?h(h为常数)是一个（ ）变换． (A) 反演 (B) 相似 (C) 平移 (D) 旋转 2. w?kz (k?0)是一个（ ）的叠加．

(A) 平移与反演变换 (B) 平移与相似变换

(C) 平移与旋转变换 (D) 旋转与伸长（缩短）变换

3.若G为射线argz??0，则G经w?z4映射后的像G?为w平面上的（ ）． (A) 圆周 (B) 点i

(C) 带形区域 (D) 射线argw?4?0

4.若w?ez，则它将平行于实轴的直线y?y0映射为w平面上的（ ）． (A) 圆周 (B) 椭圆周

(C) 上半平面 (D) 始于原点的射线??y0

二、填空题

1.若映射w?f(z)在区域G是 且 的，则称该映射为区域G内的保形映射．

2.若函数w?f(z)在区域G内 ，则它在导数 处是保角的．

3.若z1,z2,z3,z4为扩充复平面上彼此互异的四点，则称 为这四点的交比，记作 ．

z?? 4. w?ei?（Im??0,?为任意实数）将上半平面映射为 ．

z?? 三、计算题

2π2π?argz?(k?1),k?0,1,2,?,n?1，求G?? 1.设f(z)?zn，Gk:knnf(Gk)．

2.设f(z)?ez，G为线段（x?x0,0?y?2π），求G??f(G)．

3. z平面到w平面上的三对对应点为1??,i??1,?1?0，试求出由此确定的分式线性变换w?f(z)．

4. z平面到w平面上的三对对应点为??0,i?i,0??，试求出由此确定的分式线性变换w?f(z)．

四、证明题

1.试证：w?ez将G:???x???,0?y?π映射为G?:Imw?0．

πz 2.试证：w?将G:0?Rez?B?A映射为G?:0?Rew?π．

B?A 2