初一数学有理数难题与提高练习和培优综合题压轴题（含解析）

∴这样的整数有﹣3、﹣2、﹣1、0、1， 故答案为：﹣3、﹣2、﹣1、0、1； （5）有最小值是3．

【点评】本题是一道去绝对值和数轴相联系的综合试题，考查了取绝对值的方法，取绝对值在数轴上的运用．难度较大．去绝对的关键是确定绝对值里面的数的正负性．

31．（2015?宣城模拟）阅读材料：求值1+2+22+23+24+…+22014 解：设S=1+2+22+23+24+…+22014①，将等式两边同时乘以2得 2S=2+22+23+24+…+22014+22015②

将②﹣①得：S=22015﹣1，即S=1+2+22+23+24+…+22014=22015﹣1 请你仿照此法计算：（1）1+2+22+23+24+…+210

（2）1+3+32+33+34+…+3n（其中n为正整数）

【分析】（1）设S=1+2+22+23+24+…+210，两边乘以2后得到关系式，与已知等式相减，变形即可求出所求式子的值； （2）同理即可得到所求式子的值．

【解答】解：（1）设S=1+2+22+23+24+…+210，

将等式两边同时乘以2得：2S=2+22+23+24+…+210+211， 将下式减去上式得：2S﹣S=211﹣1，即S=211﹣1， 则1+2+22+23+24+…+210=211﹣1； （2）设S=1+3+32+33+34+…+3n①，

两边同时乘以3得：3S=3+32+33+34+…+3n+3n+1②， ②﹣①得：3S﹣S=3n+1﹣1，即S=（3n+1﹣1）， 则1+3+32+33+34+…+

（3n+1﹣1）．

【点评】此题考查了有理数的乘方，弄清题中的技巧是解本题的关键．

32．（2013秋?延庆县期末）小红和小明在研究绝对值的问题时，碰到了下面的问题：

“当式子|x+1|+|x﹣2|取最小值时，相应的x的取值范围是 ﹣1≤x≤2 ，最小第29页（共39页）

值是 3 ”．

小红说：“如果去掉绝对值问题就变得简单了．”小明说：“利用数轴可以解决这个问题．”

他们把数轴分为三段：x＜﹣1，﹣1≤x≤2和x＞2，经研究发现，当﹣1≤x≤2时，值最小为3．

请你根据他们的解题解决下面的问题：

（1）当式子|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+|x﹣8|取最小值时，相应的x的取值范围是 4≤x≤6 ，最小值是 8 ．

（2）已知y=|2x+8|﹣4|x+2|，求相应的x的取值范围及y的最大值．写出解答过程．

【分析】（1）根据线段上的点与线段的端点的距离最小，可得答案； （2）根据两个绝对值，可得分类的标准，根据每一段的范围，可得到答案． 【解答】解：（1）当式子|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+|x﹣8|取最小值时，相应的x的取值范围是4≤x≤6，最小值是8；

（2）当x≥﹣2，时y=﹣2x，当x=﹣2时，y最大=4； 当﹣4≤x≤﹣2时，y=6x+16，当x﹣2时，y最大=4； 当x≤﹣4，时y=2x，当x=﹣4时，y最大=﹣8， 所以x=﹣2时，y有最大值y=4．

【点评】本题考查了绝对值，线段上的点与线段的端点的距离最小，（2）分类讨论是解题关键．

33．（2014?香洲区校级二模）（1）阅读下面材料：

点A，B在数轴上分别表示实数a，b，A，B两点之间的距离表示为|AB|． 当A，B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图（1），|AB|=|OB|=|b|=|a﹣b|；

当A，B两点都不在原点时，

①如图（2），点A，B都在原点的右边，|AB|=|OB|﹣|OA|=|b|﹣|a|=b﹣a=|a﹣b|；

②如图（3），点A，B都在原点的左边，|AB|=|OB|﹣|OA|=|b|﹣|a|=﹣b﹣（﹣

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a）=|a﹣b|；

③如图（4），点A，B在原点的两边，|AB|=|OA|+|OB|=|a|+|b|=a+（﹣b）=|a﹣b|；

综上，数轴上A，B两点之间的距离|AB|=|a﹣b|． （2）回答下列问题：

①数轴上表示2和5的两点之间的距离是 3 ，数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的距离是 3 ，数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是 4 ；

②数轴上表示x和﹣1的两点A和B之间的距离是 |x+1| ，如果|AB|=2，那么x为 1或﹣3 ；

③当代数式|x+1|+|x﹣2|取最小值时，相应的x的取值范围是 ﹣1≤x≤2 ． ④解方程|x+1|+|x﹣2|=5．

【分析】①②直接根据数轴上A、B两点之间的距离|AB|=|a﹣b|．代入数值运用绝对值即可求任意两点间的距离．

③根据绝对值的性质，可得到一个一元一次不等式组，通过求解，就可得出x的取值范围．

④根据题意分三种情况：当x≤﹣1时，当﹣1＜x≤2时，当x＞2时，分别求出方程的解即可．

【解答】解：①数轴上表示2和5的两点之间的距离是|2﹣5|=3； 数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的距离是|﹣2﹣（﹣5）|=3； 数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是|1﹣（﹣3）|=4．

②数轴上表示x和﹣1的两点A和B之间的距离是|x﹣（﹣1）|=|x+1|，如果|AB|=2，那么x为1或﹣3．

③当代数式|x+1|十|x﹣2|取最小值时， ∴x+1≥0，x﹣2≤0， ∴﹣1≤x≤2．

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④当x≤﹣1时，﹣x﹣1﹣x+2=5，解得x=﹣2； 当﹣1＜x≤2时，3≠5，不成立； 当x＞2时，x+1+x﹣2=5，解得x=3．

故答案为：3，3，4，|x+1|，1或﹣3，﹣1≤x≤2．

【点评】此题综合考查了数轴、绝对值的有关内容，用几何方法借助数轴来求解，体现了数形结合的优点．

34．（2015秋?南江县校级期中）计算：（×）×（×）×（×）×…×（

×

）×（

×

）．

【分析】利用去掉括号找出算式的规律求解即可． 【解答】解：（×）×（×）×（×）×…×（×

）

×

×

×

×）×（

=××××××…×=×=

．

【点评】本题主要考查了有理数的乘法，找出算式的规律是解题的关键．

35．（2014秋?沧州期末）小明早晨跑步，他从自家向东跑了2千米到达小彬家，继续向东跑了1.5千米到达小红家，然后向西跑了4.5千米到达中心广场，最后回到家．

（1）以小明家为原点，以向东的方向为正方向，用1 个单位长度表示1千米，你能在数轴上表示出中心广场，小彬家和小红家的位置吗？ （2）小彬家距中心广场多远？

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