直线与平面垂直的判定练习题

直线、平面垂直的判定与性质

(时间：45分钟 分值：100分)

基础热身 1．[2013·太原一模] 设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是( ) A．若l⊥α，α⊥β，则l?β B．若l⊥α，α∥β，则l⊥β C．若l∥α，α∥β，则l?β D．若l∥α，α⊥β，则l⊥β 2．[2013·沈阳一模] 用a，b，c表示三条不同的直线，γ表示平面，给出下列命题：①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a⊥b，b⊥c，则a⊥c；③若a∥γ，b∥γ，则a∥b；④若a⊥γ，b⊥γ，则a∥b. 其中真命题的序号是( )

A．①② B．②③ C．①④ D．③④

3．[教材改编试题] 如图K41－1，在三棱锥D－ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列命题中正确的为( ) 图K41－1 A. 平面ABC⊥平面ABD B. 平面ABD⊥平面BCD

C. 平面ABC⊥平面BDE，且平面ACD⊥平面BDE D. 平面ABC⊥平面ACD，且平面ACD⊥平面BDE 4．[2013·长春三模] PA垂直于正方形ABCD所在平面，连接PB，PC，PD，AC，BD，则下列垂直关系正确的是( )

①平面PAB⊥平面PBC；②平面PAB⊥平面PAD； ③平面PAB⊥平面PCD；④平面PAB⊥平面PAC. A．①② B．①③ C．②③ D．②④

能力提升 5．[2013·济南三模] 如图K41－2，已知六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，则下列结论正确的是( )

图K41－2

A．PB⊥AD

B．平面PAB⊥平面PBC C．直线BC∥平面PAE

D．直线PD与平面ABC所成的角为45°

π

6．[2013·石家庄三模] 一直线和平面α所成的角为，则这条直线和平面内的直线所成

3

角的取值范围是( )

πππA.?0，? B.?，?

3???32?π2ππ

C.?，? D.?，π?

3??3?3?

图K41－3 7．如图K41－3，三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，PA＝AB，则直线PB与平面ABC所成的角是( )

A．90° B．60° C．45° D．30° 8．[2013·郑州一模] 设a，b，c表示三条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，则下列命题中不正确的是( )

?c⊥α?

? ?c⊥β A.

α∥β??

B.

b?β，a⊥b

??

? ?b⊥c

c是a在β内的射影??

C. b∥c，b?α，c?α?c∥α a∥α??

? ?b⊥α D.

b⊥a??9．[2013·西安三模] 已知m，n是两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，有下列四个命题：

①若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β；②若m∥α，n∥β，m⊥n，则α∥β；③若m⊥α，n∥β，m⊥n，则α∥β；④若m⊥α，n∥β，α∥β，则m⊥n. 其中所有正确的命题是( )

A．①④ B．②④ C．① D．④

10．设α，β，γ为彼此不重合的三个平面，l为直线，给出下列命题： ①若α∥β，α⊥γ，则β⊥γ；

②若α⊥γ，β⊥γ，且α∩β＝l，则l⊥γ；

③若直线l与平面α内的无数条直线垂直，则直线l与平面α垂直； ④若α内存在不共线的三点到β的距离相等，则平面α平行于平面β. 上面命题中，真命题的序号为________．(写出所有真命题的序号)

11．[2013·武汉三模] 正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱AA1和AB上的点，若∠B1MN是直角，则∠C1MN＝____________．

12．α，β是两个不同的平面，m，n是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断：①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α.以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题为__________________．

13．[2013·南昌三模] 球O与正方体ABCD－A1B1C1D1各面都相切，P是球O上一动点，AP与平面ABCD所成的角为α，则α最大时，其正切值为__________．

14．(10分)如图K41－4所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1， AA1＝2，E是侧棱BB1的中点．

(1)求证：A1E⊥平面ADE； (2)求三棱锥A1－ADE的体积．

图K41－4 15．(13分)如图K41－5，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB＝AD，∠BAD＝60°，E，F分别是AP，AD的中点．

求证：(1)直线EF∥平面PCD； (2)平面BEF⊥平面PAD.

图K41－5

难点突破

16．(12分)如图K41－6，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，A1B1＝A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点(点D 不同于点C)，且AD⊥DE，F为B1C1的中点．

求证：(1)平面ADE⊥平面BCC1B1； (2)直线A1F∥平面ADE.

图K41－6

课时作业(四十一)

【基础热身】

1．B [解析] 对于选项A，C，可能l∥β，所以A，C均不正确．对于选项D，可能l∥β或l?β或l与β相交，所以D不正确．

2．C [解析] 由公理4知①是真命题．在空间内a⊥b，b⊥c，直线a，c的关系不确定，故②是假命题．由a∥γ，b∥γ，不能判定a，b的关系，故③是假命题．④是直线与平面垂直的性质定理．

3．C [解析] 因为AB＝CB，且E是AC的中点，所以BE⊥AC，同理有DE⊥AC，于是AC⊥平面BDE.因为AC?平面ABC，所以平面ABC⊥平面BDE.又由于AC?平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE.故C正确．

4．A [解析] 易证BC⊥平面PAB，则平面PAB⊥平面PBC，又AD∥BC，故AD⊥平面PAB，则平面PAD⊥平面PAB，因此选A.

【能力提升】

5．D [解析] ∵AD与PB在平面ABC内的射影AB不垂直， ∴A不成立；又平面PAB⊥平面PAE，∴平面PAB⊥平面PBC也不成立；∵BC∥AD，∴BC∥平面PAD，∴直线BC∥平面PAE不成立．在Rt△PAD中，PA＝AD＝2AB，∴∠PDA＝45°.∴D正确．

π

6．B [解析] 由最小角定理，知这条直线和平面内的直线所成角中最小角为，最大角3

π

是当斜线与平面α内的一条直线垂直时所成的角，它为.

2

7．C [解析] ∵PA⊥平面ABC，∴PB在平面ABC上的射影是AB，∴∠PBA是直线PB与平面ABC所成的角．又在△PAB中，∠BAP＝90°，PA＝AB，∴∠PBA＝45°，∴直线PB与平面ABC所成的角是45°.

8．D [解析] 由a∥α，b⊥a可得b与α的位置关系有b∥α，b?α，b与α相交，所以D不正确．

9．A [解析] 我们借助于长方体模型来解决本题．对于①，可以得到平面α，β互相垂直，如图(1)所示，故①正确；对于②，平面α，β可能垂直，如图(2)所示；对于③，平面α，β可能垂直，如图(3)所示；对于④，由m⊥α，α∥β可得m⊥β，因为n∥β，所以过n作平面γ，且γ∩β＝g，如图(4)所示，所以n与交线g平行，因为m⊥g，所以m⊥n.

10．①② [解析] ①②正确，由题可知③中无数条直线不能认定为任意一条直线，所以③错，④中的不共线的三点有可能是在平面β的两侧，所以两个平面可能相交也可能平行，故填①②.

11．90° [解析] 在正方体中，C1B1⊥平面ABB1A1，而MN?平面ABB1A1，∴C1B1⊥MN.又∠B1MN是直角，即MN⊥MB1，而MB1∩C1B1＝B1，∴MN⊥平面MB1C1，∴MN⊥MC1，即∠C1MN＝90°.

12．②③④?①(或①③④?②) [解析] 根据线面、面面垂直的定义、判定定理和性质可知，正确的有②③④?①或①③④?②.

13．22 [解析] 过正方体的对角面ACC1A1作截面，如图所示，

M，N为切点，当AP与平面ABCD所成的角最大时，AP为圆O的切线．

2

设正方体的棱长为2，则OM＝1，AM＝2，tan∠OAM＝，

2

2tan∠OAM

tanα＝tan2∠OAM＝＝22.

1－tan2∠OAM