第1~4章 部分习题解

利用2-46，对于一维双原子链的声学波，???2??aq

M?m所以v'???q?a2??aE； ??M?m(M?m)/2a?其中βa为弹性模量E；(M+m)/2a为介质密度ρ；

2-3.设有一维原子链(如下图所示)，第2n个原子与第2n+1个原子之间的恢复力常数为β，第2n个原子与第2n-1个原子之间的恢复力常数为β′(β′＜β)。设两种原子的质量相等，最近邻间距为a，试求晶格振动的振动谱以及波矢q=0和q=π/2a时的振动频率。

2n-1maβ'2nmaβ2n+1maβ'2n+2m

解：根据题意，原子运动方程为

?d2x2n?1?m??(x?x)??(x?x)2n?22n?12n2n?1??dt2?d2x2n??m??(x?x)??(x?x)2n?12n2n?12n?dt2?设上两式的行波解为

(1)

x2n?1?Aei[q(2n?1)a??t]?? ?（2）i[q(2na）??t]x2n?Be??将式（2）代入式（1），并整理得

（m?2-?-??）A?（??eiqa??e?iqa)B?0???(?eiqa???e?iqa)A?（m?2?????)B?0??(3)

方程（3）中的A、B有非零解，则方程组的系数行列式为零，得到

m?2-?-????eiqa??e?iqa?iqa?e???eiqam??????2?0

(m?2-?-??)2??2??'2?2??'cos2qa1?2?（[????）?（?2???2?2???cos2qa)1/2]

m）,所以 q?0时，???（???? q?22m2???0

?2a2时，???2?2??2,??? mm2-4. 一维双原子晶格振动中，证明在布里渊区边界q??止，光频支所有重原子M静止。

?2a处，声频支中所有轻原子m静

解：当q???2a时，???2?2?，???; mM2?代入2-43得：

M对于声频支：将q???2a，???（m-1）A=0?A=0，即轻原子m静止； M对于光频支：将q???2a，???2?代入2-43得： m(M-1)B=0?B=0，即重原子M静止； m2-5. 什么叫声子?它和光子有何异、同之处?

不同点：光子是电磁波能量的量子化；声子是格波能量的量子化； 相同点：都是玻色子，起传递能量的作用；

2-6. 一维双原子点阵，已知一种原子的质量m=5×1.67×10-27kg，另一种原子的质量M=4m，力常数β=15N·m-1，求：

0(a) 光学波的最大频率和最小频率?max、?min A(b) 声学波的最大频率?max

0(c) 相应的声子能量是多少eV?

0A(d) 在300K可以激发频率为?max、?min、?max的声子的概率? 0(e) 如果用电磁波来激发长光学波?max振动，试问电磁波的波长要多少?

0解：??mM?0.8m

m?M（a）?0max?2?2???6.0?1013rad/s ?6.7?1013rad/s，?0minm?（b）?max?A2??3.0?1013rad/s， M0（c）E1???0eV，E2???main?0.040eV，E3???AeV max?0.044max?0.020（d）由玻色-爱因斯坦分布，f?1eE/k0T?1

f?0?max1eo??mka/xT0?1?0.22；

f?0?min1eo??min/k0T?1?0.28；

f?A?max1eA??max/k0T?1?0.87；

(e) 由h? ??c??ho??max可得： 2?2?c?2.8?10?5m o?max1??，试用德拜模型求晶体的零点振动能。 22-7. 设晶体中每个振子的零点振动能量

解：晶体的零点振动能E0是各振动模式零点能之和，并且

3V?2?(?)d??23d?2?vp?06?2N ()=vpV?D3?E0???0(?)?(?)d???0?0013V?29N???23d??N?(6?2)1/3vp22?vp8V?3V??D39()v???N??DpD16?2vp8

2-8.设长度为L的一维简单晶格，原子质量为m，间距为a，原子间的互作用势可表示成

?U(a??)??Acos()。试由简谐近似求

a（1）色散关系； （2）模式密度?(?)；

（3）晶格热容（列出积分表达式即可） 解：（1）原子间的弹性恢复力系数为

r?a????r?ar?a??2 d[?Acos()]??dU11a?aAa?=(2)a???2??A???cos2drdraaaa????a2将上式代入本教材一维简单晶格的色散关系式（2-34）中，即??2得到：

1sinqa，m2???2A1/21()sinqa am2?/a（2）对于一维简单晶格，有

???D?D0?(?)d??????/a?(q)dq?N，q值分布密度?(q)?L/2?

LNadq?dq，所以： 2?2?在波矢q?q?dq中的振动模式数为?(q)dq???0?(?)?/a?/ad?d?dq???(?)dq???(q)dq

??/a??/adqdq所以，?(?)d???(q) dqd??qaaqaa?acos()??0[1?sin()2]1/2?(?02??2)1/2 代入上式，有 dqm2222?(?)??(q)(d??1Naa)?[(?02??2)1/2]?1dq2?2N1??(?02??2)1/2（3） 利用教材第二章中的式（2-81），得 CV?

??D0L??2e??/k0Tk0()??/k0T2a?k0T(e?1)2(?02??)1/2d?

2-9. 有人说，既然晶格独立振动频率υ的数目是确定的(等于晶体的自由度数)。而hυ代表一个声子。因此，对于一给定的晶体，它必拥有一定数目的声子。这种说法是否正确? 提示：不正确，因为平均声子数与与温度有关。

2-10. 应用德拜模型，计算一维、二维情况下晶格振动的频谱密度，德拜温度，晶格比热。 解：（1）一维情况下，q值分布密度?(q)?L/2?

由习题2-7（2）的结论可知：?(?)d?d???(q)，又因为vp?q??，所以?vp dqdq所以振动频谱密度?(?)??(q)L? vp2?vp德拜温度?D???D k0其中 ?D 满足