第一讲：圆的要素及垂径定理

2. 如图所示，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB?CD于点E。连接AC、OC、BC。 （1）求证：?ACO=?BCD。

（2）若EB=8cm，CD=24cm，求⊙O的直径。

【答案】26 cm

【解析】(1)∵AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB?CD于E，

∴CE=EDCB ， =

DB ∴?BCD=?BAC

∵OA=OC ∴?OAC=?OCA

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A O E C DB

∴?ACO=?BCD

(2)设⊙O的半径为Rcm，则OE=OB?EB=R?8， CE=1CD=122?24=12

在Rt?CEO中，由勾股定理可得OC2=OE2+CE2 即R2= (R?8)2解得 R=13 。 ∴2R=2?13=26 。答：⊙O的直径为26cm。

2 46

+12

3.在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦AC翻折交AB于点D，连结CD． （1）如图1，若点D与圆心O重合，AC=2，求⊙O的半径r；

（2）如图2，若点D与圆心O不重合，∠BAC=25°，请直接写出∠

【答案】r=；∠DCA=40°

【解析】 解：（1）如图，过点O作OE⊥AC于E，则AE=AC=×2=1，

∵翻折后点D与圆心O重合，

DCA的度数．

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∴OE=r，

在Rt△AOE中，AO2=AE2+OE2， 即r2=12+（r）2， 解得r=

；

（2）连接BC， ∵AB是直径， ∴∠ACB=90°， ∵∠BAC=25°，

∴∠B=90°﹣∠BAC=90°﹣25°=65°， 根据翻折的性质，所对的圆周角等于∴∠DCA=∠B﹣∠A=65°﹣25°=40°．

所对的圆周角，

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【反思与总结】本题考查了垂径定理，勾股定理的应用，翻折的变换的性质，以及圆周角定理，（1）作辅助线构造出半径、半弦、弦心距为边的直角三角形是解题的关键，（2）根据同弧所对的圆周角相等求解是解题的关键．（1）过点O作OE⊥AC于E，根据垂径定理可得AE=AC，再根据翻折的性质可得OE=r，然后在Rt△AOE中，利用勾股定理列式计算即可得解；

（2）连接BC，根据直径所对的圆周角是直角求出∠ACB，根据直角三角形两锐角互余求出∠B，再根据翻折的性质得到所对的圆周角，然后根据∠ACD等于所对的圆周角减去所对的圆周角，计算即可得解．

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