江苏省扬州市高邮市界首中学2014-2015学年高一上学期期末数学模拟试卷（二） Word版含解析

②f（x）的最小正周期为2π， 由

∴f（x）的单调增区间为[③当x﹣

=

，即x=

，

，得

]，k∈Z．

，k∈Z时，f（x）取得最大值为2，

，k∈Z}．

，

f（x）取得最大值时x的取值集合为：{x|x=

④先把y=sin2x的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，得到y=sinx的图象， 然后把y=sinx的图象向右平移把y=sin（x﹣（x﹣

个单位，得到y=sin（x﹣

）的图象，

）图象上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍，横坐标不变，得到f（x）=2sin

）的图象；

∈[﹣

，

]，

，2]．

⑤当x∈[0，π]时，x﹣此时函数

的值域为：[﹣

点评： 本题考查y=Asin（ωx+φ）的图象作法、图象变换及单调性最值，本题综合性较强，但涉及知识较为基础，应熟练掌握．

18．（16分）已知向量①若向量与向量②若向量与向量

，=（1，﹣2），

垂直，求实数k的值 共线，求实数k的值

③设向量与的夹角为α，与的夹角为β，是否存在实数k使α+β=π？求实数k的值，若不存在说明理由？

考点： 平面向量数量积的运算． 专题： 计算题；平面向量及应用．

分析： ①由向量、的坐标，求出与k的等式，解之可得满足条件的实数k的值； ②根据向量与的实数k的值；

的坐标，根据向量垂直的坐标表示建立关于

的坐标，利用向量平行的条件建立关于k的等式，解之可得满足条件

③设向量、、的起点为O，终点分别为A、B、M，则当点M落在∠AOB的补角∠AOC的平分线上时，满足α+β=π．此时点M到直线OA、OB的距离相等，且M在第二或第四象限内，利用点到直线的距离公式建立关于k的方程，解之可得：存在k=﹣，使α+β=π成立．

解答： 解：∵∴

，=（1，﹣2），

=（﹣7，4）

=（k﹣3，﹣2k+1），

垂直，

①∵向量与向量

∴（k﹣3）×（﹣7）+（﹣2k+1）×4=0，解之得k=； ②∵向量与向量

共线，

；

∴（k﹣3）×4﹣（﹣7）×（﹣2k+1）=0，解之得k=③设=

=

，

==（1，﹣2）， ，

此时∠MOA=α，∠MOB=β，α+β=∠MOA+∠MOB，

设∠AOC是∠AOB的补角，则当M在∠AOC的平分线上时，α+β=∠MOC+∠MOB=π． 直线OA的方程为x+3y=0，直线OB的方程为2x+y=0，点M（k﹣3，﹣2k+1）到直线OA、OB的距离相等． ∴

，解之得k=

．

又∵点M（k﹣3，﹣2k+1）是第二或第四象限内的点， ∴（k﹣3）（﹣2k+1）＜0，解得k＜或k＞3，由此可得k=综上所述，存在k=﹣

，使α+β=π成立．

不符合题意，舍去．

点评： 本题给出向量含有参数k的坐标，探索两个向量平行、垂直的位置关系．着重考查了平面向量的坐标运算、向量平行与垂直的条件、点到直线的距离公式及其应用等知识，属于中档题． 19．（16分）某企业为打入国际市场，决定从A、B两种产品中只选择一种进行投资生产，已知投资生产这两种产品的有关数据如表：（单位：万美元） 年固定成本 每件产品成本 每件产品销售价 每年最多可生产的件数 A产品 20 m 10 200 B产品 40 8 18 120

其中年固定成本与年生产的件数无关，m是待定常数，其值由生产A产品的原材料决定，预

2

计m∈[6，8]，另外，年销售x件B产品时需上交0.05x万美元的特别关税，假设生产出来的产品都能在当年销售出去．

（1）求该厂分别投资生产A、B两种产品的年利润y1，y2与生产相应产品的件数x之间的函数关系，并求出其定义域；

（2）如何投资才可获得最大年利润？请设计相关方案．

考点： 函数最值的应用． 专题： 应用题；作差法．

分析： （1）利润=年销售收入﹣固定成本﹣产品成本﹣特别关税，可求得该厂分别投资生产A、B两种产品的年利润y1，y2与生产相应产品的件数x之间的函数关系和定义域；（2）作差法比较年利润y1，y2的大小，设确定计相关方案． 解答： 解：（1）y1=10x﹣=（10﹣m）x﹣20，0＜x≤200，且x∈N

22

y2=18x﹣（8x+40）﹣0.05x=﹣0.05x+10x﹣40，0＜x≤120且x∈N （2）∵6≤m≤8 ∴10﹣m＞0

∴y1=（10﹣m）x﹣20为增函数 又0≤x≤200，x∈N

∴x=200时，生产A产品有最大利润（10﹣m）×200﹣20=1980﹣200m（万美元）

y2=﹣0.05x+10x﹣40=﹣0.05（x﹣100）+4600≤x≤120，x∈N ∴x=100时，生产B产品有最大利润460（万美元） （y1）max﹣（y2）max =1980﹣200m﹣460

=1520﹣200m 当6≤m＜7.6时，（y1）max﹣（y2）max＞0 当m=7.6时，（y1）max﹣（y2）max=0

22

当7.6＜m≤8时，（y1）max﹣（y2）max＜0

∴当6≤m＜7.6投资A产品200件可获得最大利润 当7.6＜m≤8投资B产品100件可获得最大利润 m=7.6生产A产品与B产品均可获得最大年利润．

点评： 考查根据实际问题抽象函数模型的能力，并能根据模型的解决，指导实际生活中的决策问题，属中档题．

20．（16分）已知函数f（x）=x，g（x）=ax+3（a∈R），记函数F（x）=f（x）﹣g（x）， （1）判断函数F（x）的零点个数；

（2）若函数|F（x）|在[0，1]上是减函数，求实数a的取值范围． （3）若a＞0，设F（x）在区间[1，2]的最小值为g（a），求g（a）的表达式．

考点： 二次函数的性质． 专题： 函数的性质及应用．

分析： （1）求出函数F（x）的表达式，根据判别式即可判断函数零点的个数． （2）根据函数|F（x）|在[0，1]上是减函数，即可求实数a的取值范围． （3）根据函数F（x）在区间[1，2]的最小值为g（a），讨论对称轴与区间的关系，即可求出g（a）．的表达式

2

解答： 解：（1）∵f（x）=x，g（x）=ax+3（a∈R），

2

∴函数F（x）=f（x）﹣g（x）=x﹣ax﹣3．

22

则判别式△=a﹣4（﹣3）=a+12＞0， ∴函数F（x）的零点个数有2个．

2

（2）∵F（x）=f（x）﹣g（x）=x﹣ax﹣3．

2

∴|F（x）|=|x﹣ax﹣3|=

当a≤0时，对应的图象为：， 当a＞0时，对应的图象为：，

∴要使函数|F（x）|在[0，1]上是减函数， 则

，解得﹣2≤a≤0．

2

2

，

（3）∵F（x）=f（x）﹣g（x）=x﹣ax﹣3=（x﹣）∴对称轴x=， ①若=﹣2﹣a． ②若=1﹣2a．

2

﹣3，

，即0＜a≤2时，函数F（x）在[1，2]上单调递增，∴F（x）最小值为g（a）=F（1）

，即a≥4时，函数F（x）在[1，2]上单调递减，∴F（x）最小值为g（a）=F（2）

③若，即2＜a＜4时，函数F（x）在[1，2]上不单调，∴函数F（x）最小值为g

﹣3．

（a）=F（）=﹣

综上：g（a）=．

点评： 本题主要考查二次函数的图象和性质，利用配方法得到二次函数的对称轴，根据对称轴和单调区间之间的关系是解决本题的关键．