保险精算教学大纲

短时期，单利积累值较大，长期则相反

常数单利的有效利率不是常数，而常数复利的有效利率是常数 单位有效利率相同时，单利在同样长的时间段内增长的绝对金额相同，复利在同样长的时间段内增长的比率相同

四、有效利率&名义利率 ih(t)=(a(t+h)-a(t))/a(t)h 1+i=(1+i(m)/m)m i(m)是m的减函数 五、贴现率和利息率

1/(1-d)=1+i，d=i/(1+i)

1-d=(1-d(m)/m)m, d(m)是m的增函数 六、利息力

?(t)?limih(t),a(t)?e??(s)ds

0h?0?t七、积累因子和贴现因子

积累因子a(t)?e?0?(s)ds 贴现因子v(t)?e八、常数利息力

t??0?(s)dst

a(t)?e??t，ih(t)?(e??h?1)/h，v(t)?e???t，v?v(1)?1/(1?i) 九、现金流的现值和终值的计算 资本投入连续

资本投入离散

【思考题（Questions）】

设a(t)=at2+b，且a(5)=126，求A(0)=100时的A(10)。

设a(t)=1/(1-0.05t)，求i(4)。

设a1(t)=1+0.8t，a2(t)=1.05t，试比较这两个积累函数的大小。

设用1000元的本金进行10年的投资，前3年各年的利率为3%，中间5年的年利率为5%，最后2年的利率为2%，分别在单利法和复利法下求10年后的资本总额及利息总额。

5. 假设名义利率为5%，求年有效利率（实际利率）及1000元本金在1年后

的复利积累值，设利息：（1）一天转换一次；（2）一个月转换一次；（3）一个季度转换一次；（4）一年转换一次。（一年按365天计算）

6. 假设利息力函数如下所示，求贴现因子v(t)的表达式以及第6年末的1000

元在第一年初时的值。 1. 2. 3. 4.

?0.09??(t)??0.08?0.07?0?t?55?t?10 t?100?t?55?t?10，求从时刻0开始的资本投入率为1的连t?107. 假设i=0.08，求i(12)、d(4)、δ、d和v的值。

?0.09?8. 若已知?(t)??0.08?0.07?续支付15年的现金流量在时刻0时的现值。

9. 假如某公司在1996年1月1日投资1000万元，在1997年1月1日投资

2500万元，在1997年7月1日投资3000万元，年利息力为0.06。求这些投资在1995年3月1日和2000年7月1日的价值分别为多少。

10. 已知a(t)=at2+b，若A(0)=100，则A(3)=370。求A(5)=100时的A(10)。 11. 已知A(t)=90+3t，求i(3)、i(5)、d(3)、d(5)。 12. 已知A(t)=90×1.2t，求i(3)、i(5)、d(3)、d(5)。

13. 某人将1500元存入银行，年有效利率为3%，求该存款分别在单利和复利

下于（1）10年后；（2）1年后；（3）3个月后的积累值。 14. 已知δ＝0.08，求i、d、v的值。 15. 已知i＝0.08，求d、v、δ的值。 16. 已知d＝0.08，求i、v、δ的值。 17. 已知v＝0.95，求i、d、δ的值。

18. 若投资A以4%的名义利率进行投资，利息每半年转换一次，投资B以4%

的名义贴现率进行投资，利息每季度转换一次，若投资A和B都在年初投资了1000元，问一年以后这两种投资结果之间的差异。 19. 若年有效利率为0.04，求i(2)、i(12)、d(2)、d(12)、d。 20. 已知d(24)＝0.04，求i。

21. 若a(t)=1/(1-0.08t)，求δ(1)。

22. 若A(t)=Kt2+Lt+M，A(0)=100，A(1)=110，A(2)=136，求t=0.5时的利息力

δ(0.5)。

23. 若δ(t)=0.12t/(1+0.06t2)，求a(2)。 24.

?0.08?25. 若已知?(t)??0.06?0.04?0?t?55?t?10，（1）求v(t)的表达式；（2）某投资者在t?10上述利息力下进行如下投资：他于每年年初存入某帐户600元，共存15年，作为回报，他可在最后一次存款支付后的一年后去除所有的积累值，也可分8年于每年年初领取均衡年金，第一次年金发生在最后一次存款的一年后。分别求这两种情况下的积累值和年金额。

第二章 确定年金

【教学目的与要求（Session Objectives）】

掌握在期初支付和期末支付这两种方式下每期支付一次和多次、或者在大于一个单位时间的时间间隔内支付一次年金这三种不同情形下的年金的计算，了解变动年金的构成和计算方法。

【教学重点（Key Points）】

本章的重点是不同支付方式下支付的时间间隔与单位时间相等或不等情况下年金的计算。

【课时安排（Teaching Hours）】

课堂讲授：4课时

【教学内容（Session Outline）】

第一节 每期支付一次的年金

一、期末付定期即期年金

n11?vn(1?i)n?1k?1an???,sn??(1?i)??an(1?i)n kiik?1(1?i)k?1n二、期初付定期即期年金

??n11?vn??(1?i)n?1??kn an???,s?(1?i)??a(1?i)nn?k?1ddk?1(1?i)k?1n????an?(1?i)an,an?1?an?1,sn?(1?i)sn,sn?1?(1?i)sn?1??????

sn?1?1?sn,sn?sn?1?11??1a??,a??id三、期末付定期延期年金

1vm(1?vn)ma???van?an?m?am?mnm?kik?1(1?i)

n

k?1m?ns?(1?i)?s?a(1?i)?mnmnnk?1n

vma?m?i

四、期初付定期延期年金

??????1vm(1?vn)m??van?an?m?amman??m?k?1dk?1(1?i)??n??mn????sn??(1?i)?sn?man(1?i)m?nkk?1

vm ma??d??第二节 每期支付m次的年金

一、每期支付m次，期末付即期年金

a(m)nvk/m1?vni???(m)?(m)aniik?1m

nmnm(1?i)(k?1)/m(1?i)n?1is????s(m)(m)nmiik?1 1(m)a??(m)i

(m)n二、每期支付m次，期初付即期年金

??(m)anv(k?1)/m1?vnd?????(m)?(m)anmddk?1

nm??(m)sn(1?i)k/m(1?i)n?1d????s(m)(m)nmddk?1

nm??(m)a??1i(m)

第三节 标准递增年金

一、标准递增年金