2018-2019学年四川省成都外国语学校高二(下)第一次月考数学试卷(理科)(3月份)

围是 ＜e＜ ．

【分析】求出直线BF的方程为bx+cy﹣bc＝0，利用直线与圆的位置关系，结合e＞1，即可求出双曲线离心率e的取值范围．

【解答】解：由题意，F（c，0），B（0，b），则直线BF的方程为bx+cy﹣bc＝0， ∵在线段BF上（不含端点）存在不同的两点Pi（i＝1，2），使得△PiA1A2（i＝1，2）构成以线段A1A2为斜边的直角三角形， ∴

，

∴e4﹣3e2+1＜0， ∵e＞1， ∴e＜∵a＜b， ∴a2＜c2﹣b2， ∴e＞∴

，

． ＜e＜

．

＜e＜

故答案为：

【点评】本题考查双曲线的简单性质，考查离心率，考查直线与圆的位置关系，属于中档题．

三、解答题：本大题6题，共70分．解答应在答题卷写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（10分）设命题p：函数f（x）＝＜0，

（1）若p为真命题，求实数a的取值范围；

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+

x2+9x无极值．命题q：（x﹣k）（x﹣k+1）

（2）若￢p是￢q的充分不必要条件，求实数k的取值范围．

【分析】（1）根据f（x）的导函数为二次函数，且开口向上，说明导函数无零点即判别式△＜0．

（2）根据充要条件的定义，用集合观点处理即可．

【解答】解：（1）p真时，则f'（x）＝x2+3（3﹣a）x+9≥0恒成立， ∴△＝9（3﹣a）2﹣36≤0得1≤a≤5．

（2）q真：k﹣1＜x＜k，设集合A＝{x|1≤x≤5}，集合B＝{x|k﹣1＜x＜k} ∵￢p是￢q的充分不必要条件， ∴q是p的充分不必要条件，即B?A． 则有

所以2≤k≤5．

【点评】本题考查了充分条件必要条件的判断，考查了复合命题的真假判断，考查函数恒成立问题，方程根的存在性及个数判断，是中档题．

18．（12分）《汉字听写大会》不断创收视新高，为了避免“书写危机”，弘扬传统文化，某市大约10万名市民进行了汉字听写测试．现从某社区居民中随机抽取50名市民的听写测试情况，发现被测试市民正确书写汉字的个数全部在160到184之间，将测试结果按如下方式分成六组：第1组[160，164），第2组[164，168），…，第6组[180，184），如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．

（1）若电视台记者要从抽取的市民中选1人进行采访，求被采访人恰好在第2组或第6组的概率；

（2）试估计该市市民正确书写汉字的个数的平均数与中位数；

（3）已知第4组市民中有3名男性，组织方要从第4组中随机抽取2名市民组成弘扬传统文化宣传队，求至少有1名女性市民的概率．

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【分析】（1）利用频率分布直方图能求出被采访人恰好在第1组或第4组的概率． （2）利用频率分布直方图能求出平均数和中位数．

（3）共50×0.12＝6人，其中男生3人，设为a，b，c，女生三人，设为d，e，f，利用列举法能求出至少有1名女性市民的概率．

【解答】解：（1）被采访人恰好在第1组或第4组的概率P＝4×0.07+4×0.01＝0.32…………………（2分） 2

）

平

均

数………

…（3分）

…………………（4分）

设中位数为x，则0.2+0.28+（x﹣168）×0.08＝0.5…………………（5分） ∴中位数x＝

+168＝168.25…………………（6分）

（3）共50×0.12＝6人，其中男生3人，设为a，b，c，女生三人，设为d，e，f…………………（7分）

则任选2人，可能为{a，b}，{a，c}，{a，d}，{a，e}，{a，f}，{b，c}，{b，d}，{b，e}，{b，f}，{c，d}，{c，e}，{c，f}，{d，e}，{d，f}，{e，f}，共15种，…………………（9分）

其中两个全是男生的有{a，b}，{a，c}，{b，c}，共3种情况，…………………（10分） 设事件A：至少有1名女性，

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则至少有1名女性市民的概率…………………（12分）

【点评】本题考查概率、平均数、中位数的求法，考查频率分布直方图、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

19．（12分）已知a∈R，函数f（x）＝（﹣x2+ax）ex（x∈R）． （1）当a＝2时，求函数f（x）在[0，2]上的最值；

（2）若函数f（x）在（﹣1，1）上单调递增，求a的取值范围．

【分析】（1）利用导数研究函数在[0.2]上的单调性，求出极大极小值后，与端点值比较可得最大最小值；

（2）函数f（x）在（﹣1，1）上单调递增转化为f′（x）≥0在[﹣1，1]上恒成立，转化为﹣x2+（a﹣2）x+a≥0在（﹣1，1）上恒成立，再分离参数后，构造函数转化为最值可解决．

【解答】解（1）当a＝2时，f（x）＝（﹣x2+2x）ex， f′（x）＝（﹣x2+2）ex．令f′（x）＝0，则x＝﹣当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：

x f′（x） f（x）

0 f（0）＝0

（0，

+ ↗

）

0 极大值f（）e

）

（

，2） ﹣ ↘

2 f（2）＝0

或x＝

，

所以，f（x）max＝f（）＝（﹣2+2，f（x）min＝f（0）＝0．

（2）因为函数f（x）在（﹣1，1）上单调递增， 所以f′（x）≥0在（﹣1，1）上恒成立．

又f′（x）＝[﹣x2+（a﹣2）x+a]ex，即[﹣x2+（a﹣2）x+a]ex≥0，注意到ex＞0， 因此﹣x2+（a﹣2）x+a≥0在（﹣1，1）上恒成立，也就是a≥1，1）上恒成立． 设y＝x+1﹣即y＝x+1﹣则y＜1+1﹣故a≥．

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＝x+1﹣在（﹣

，则y′＝1+＞0，

在（﹣1，1）上单调递增， ＝，