2018-2019学年四川省成都外国语学校高二(下)第一次月考数学试卷(理科)(3月份)

故选：C．

【点评】本题考查抛物线与点差法的结合应用，考查抛物线的方程的运用，以及三角形的重心坐标公式，考查运算能力，属于基础题．

11．（5分）1642年，帕斯卡发明了一种可以进行十进制加减法的机械计算机.1674年，莱布尼茨改进了帕斯卡的计算机，但莱布尼兹认为十进制的运算在计算机上实现起来过于复杂，随即提出了“二进制”数的概念．之后，人们对进位制的效率问题进行了深入的研究．研究方法如下：对于正整数n，x（x≥2），我们准备nx不同的卡片，其中写有数字0，1，…，x﹣1的卡片各有n张．如果用这些卡片表示n位x进制数，通过不同的卡片组合，这些卡片可以表示x个不同的整数（例如n＝3，x＝10时，我们可以表示出000□□□999共103个不同的整数）．假设卡片的总数nx为一个定值，那么x进制的效率最高则意味着nx张卡片所表示的不同整数的个数xN最大．根据上述研究方法，几进制的效率最高？（ ） A．二进制

B．三进制

C．十进制

D．十六进制

，（x，k∈N*），

【分析】设nx＝k为一定值．可得nx张卡片所表示的不同整数的个数y＝假设x，k∈R+，可得lny＝lnx，利用求导研究其单调性即可得出． 【解答】解：设nx＝k为一定值． 则nx张卡片所表示的不同整数的个数y＝假设x，k∈R+， 则lny＝lnx，

，（x，k∈N*），

两边求导可得：y′＝?（1﹣lnx），

可得x＝e时，函数y取得最大值． 比较

，

的大小即可．

分别6次方可得：23k＝8k，32k＝9k， 可得8k＜9k， ∴

＜

．

∴根据上述研究方法，3进制的效率最高． 故选：B．

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【点评】本题考查了利用研究函数的单调性极值与最值、进位制，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

12．（5分）已知函数f（x）＝

，函数g（x）＝x3，若方程g（x）＝

xf（x）有4个不同实根，则实数a的取值范围为（ ） A．（5，

）

B．（5，

]

C．（﹣3，5）

D．（3，5）

【分析】方程g（x）＝xf（x），化为x3＝xf（x），即x＝0或x2＝f（x），要使方程g（x）＝xf（x）有4个不同实根，则需方程x2＝f（x）有3个非0不同根，当x＞0时，方程g（x）＝f（x）有1个根，则只需：x＜0时，y＝a|x+|﹣可，数形结合得答案．

【解答】解：方程g（x）＝xf（x），化为x3＝xf（x），即x＝0或x2＝f（x）， 要使方程g（x）＝xf（x）有4个不同实根，则需方程x2＝f（x）有3个非0不同根， 如图：

而当x＞0时，方程g（x）＝f（x）有1个根， 则只需：x＜0时，y＝a|x+|﹣过点（﹣，﹣

与g（x）＝x2有两个交点即可．

与g（x）＝x2有两个交点即

）作g（x）＝x2（x＜0）的切线，设切点为（m，m2）

）代入上式得m＝﹣，

切线方程为y﹣m2＝2m（x﹣m），把点（﹣，﹣∴切线斜率为2m＝﹣5． 由a?（0+）﹣

≤0，解得a

]．

．

∴实数a的取值范围为（5，故选：B．

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【点评】本题考查了函数的零点与方程根的关系，考查数形结合的解题思想方法，属于中档题．

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案写在答题卷相应位置上. 13．（5分）已知向量＝（﹣2，1，3），＝（﹣1，2，1），若⊥（的值为 2 ．

【分析】利用向量坐标运算法则推导出（

），能求出实数λ．

＝（﹣2+λ，1﹣2λ，3﹣λ），再由⊥

），则实数λ

【解答】解：∵向量＝（﹣2，1，3），＝（﹣1，2，1）， ∴∵⊥（∴

＝（﹣2+λ，1﹣2λ，3﹣λ），

），

＝﹣2（﹣2+λ）+（1﹣2λ）+3（3﹣λ）＝0，

解得实数λ＝2． 故答案为：2．

【点评】本题考查实数值的求法，考查向量坐标运算法则、向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题． 14．（5分）已知tanθ＝2，则

+sin2θ的值为 ．

【分析】把要求值的式子化弦为切求解． 【解答】解：∵tanθ＝2，

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∴

+sin2θ＝

＝＝．

故答案为：．

【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．

15．（5分）如图所示，正方形的四个顶点A（﹣1，﹣1），B（1，﹣1），C（1，1），D（﹣1，1），及抛物线y＝﹣（x+1）2和y＝（x﹣1）2，若将一个质点随机投入正方形ABCD中，则质点落在图中阴影区域的概率是

．

【分析】利用积分求阴影部分的面积，再利用几何概型中的面积型求解即可． 【解答】解：函数图象y＝（x﹣1）2与x，y轴正半轴所围成的面积为：＝（x3﹣x2+x）|＝，

即图中阴影区域的面积为2×（1﹣）＝，

（x﹣1）2dx

则质点落在图中阴影区域的概率是：故答案为：．

＝＝，

【点评】本题考查了利用积分求面积，及几何概型中的面积型，属中档题． 16．（5分）如图：已知双曲线

＝1（a＞0，b＞0）中，A1，A2为左右顶点，F为右

焦点，B为虚轴的上端点，若在线段BF上（不含端点）存在不同的两点Pi（i＝1，2），使得△PiA1A2（i＝1，2）构成以A1A2为斜边的直角三角形，则双曲线离心率e的取值范

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