2020届安徽省芜湖市高三上学期期末数学(理)试题(教师版)

uuur2uuuur2uuuur2在Rt?EF1F2中，由勾股定理得EF1?EF2?F1F2，则有4a2?8a2?4c2，可得c?3a，因此，该

双曲线的离心率为e?故答案为：3. 【点睛】本题考查双曲线离心率的计算，同时在问题中涉及了双曲线的焦点，一般利用双曲线的定义来求解，并充分分析几何图形的形状，考查运算求解能力，属于中等题.

c?3. a三?解答题:共70分.解答应写出文字说明?证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22?23题为选考题,考生根据要求作答. (一)必考题:共60分.

17.如图，在四棱锥P?ABCD中，四边形ABCD为矩形，平面PCD?平面ABCD，E为PC中点，

PD?CD?2DE.

（1）求证：ED?BP；

（2）若BD与平面PBC所成的角为30o，求二面角C?PD?B的大小. 【答案】（1）证明见解析；（2）60o. 【解析】 【分析】

（1）由面面垂直性质定理可得出BC⊥平面PCD，可得出ED?BC，由等腰三角形三线合一的性质可得出ED?PC，由此可得出ED?平面PCD，进而得出ED?BP； （2）设CD?2，可得出PD?2，DE?2，由（1）可知，BD与平面PBC所成的角为?DBE?30o，

可得BC?2，进而以点D为坐标原点，DA、DC、DP所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求出二面角C?PB?D的大小. 【详解】（1）Q四边形ABCD为矩形，则BC?CD，

Q平面PCD?平面ABCD，平面PCDI平面ABCD?CD，BC?平面ABCD，

所以BC⊥面PCD，QED?平面BCD，?BC?DE， 又QPD?CD，E为PC中点，?ED?PC，

QBCIPC?C，?ED?平面PBC，

QBP?平面PBC，故ED?BP；

（2）不妨设CD?2，由PD?CD?2DE得ED?2，

由（1）知，BD在平面PBC的射影为EB，即?DBE?30o，

?BD?22，故BC?2.

以点D为坐标原点，DA、DC、DP所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系

D?xyz，

0,2?、C?0,2,0?、B?2,2,0?， 易得D?0,0,0?、P?0,uuuruuuruuur?PB??2,2,?2?，PC??0,2,?2?，DB??2,2,0?，

uruur设平面PBC与平面PBD的法向量分别为n1??x1,y1,z1?和n2??x2,y2,z2?， uruuur则n1?DE??0,1,1?，

uuvuuuvuur??n2?PB?2x2?2y2?2z2?0uvuuuv由?u，令y2?1，则x2??1，z2?0，?n2???1,1,0?， ??n2?DB?2x2?2y2?0uruururuurn?n1?cos?n1,n2??ur1u2ur?，所以二面角C?PB?D的大小60o.

n1?n22【点睛】本题考查利用线面垂直的性质证明线线垂直，同时也考查了利用空间向量法计算二面角，涉及线面角定义的应用，考查推理能力与计算能力，属于中等题. 18.已知函数f?x??sinxcos?x?（1）求函数f?x?的周期； （2）若???0,????1??. 6?4????4??，f????2，求sin2?. 5【答案】（1）?；（2）【解析】 【分析】

43?3. 101???fx?sin2x?y?fx（1）利用三角恒等变换思想化简函数??的解析式得??2??，然后利用周期公式可

6??计算出该函数的周期； （2）由已知条件得出sin?2??????4????cos2??，利用同角三角函数的基本关系求出???的值，然后利用6?56??两角和的正弦公式可求出sin2?的值. 【详解】（1）

???1311?Qf?x??sinx?cosxcos?sinxsin???sinxcosx?sin2x?66?4224??311???sin2x?cos2x?sin?2x??， 442?6?2???； 2所以，函数y?f?x?周期为T?（2）Qf????1??2??4??sin?2????，所以sin?2????， 26?56?5??因为???0,????4??，得2?????3????????,?，所以cos?2????.

6?56?63??????????????4331??sin2??sin??2??????sin?2???cos?cos?2???sin????

6?6?6?66?65252?????43?3. 10【点睛】本题考查正弦型函数周期的计算，同时也考查了利用两角和的正弦公式求值，考查计算能力，属于中等题.

19.已知定点M??1,0?，圆N:?x?1??y2?16，点Q为圆N上动点，线段MQ的垂直平分线交NQ于

2点P，记P的轨迹为曲线C. （1）求曲线C的方程；

（2）过点M与N作平行直线l1和l2，分别交曲线C于点A、B和点D、E，求四边形ABDE面积的最大值.

x2y2【答案】（1）（2）6. ??1；

43【解析】 【分析】

（1）由中垂线性质得PM?PQ，可得出MP?NP?4?MN，符合椭圆的定义，可知曲线C是以

M、N为焦点的椭圆，由此可得出曲线C的方程；

（2）设直线l2的方程为x?ty?1，设点D?x1,y1?、E?x2,y2?，将直线l2的方程与曲线C的方程联立，列出韦达定理，利用弦长公式计算出DE，同理得出AB，并计算出两平行直线l1、l2的距离，可得出四边形ABDE的面积关于t的表达式，然后利用双勾函数的单调性可求出四边形ABDE面积的最大值. 【详解】（1）由中垂线的性质得PM?PQ，?MP?NP?PQ?NP?4?MN?2， 所以，动点P的轨迹是以M、N为焦点，长轴长为4的椭圆，

的