(完整word版)高中数学数列专题大题训练

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14．（2013?大纲版）等差数列{an}中，a7=4，a19=2a9， （Ⅰ）求{an}的通项公式； （Ⅱ）设bn=

，求数列{bn}的前n项和Sn．

【分析】（I）由a7=4，a19=2a9，结合等差数列的通项公式可求a1，d，进而可求an （II）由

=

=

，利用裂项求和即可求解

【解答】解：（I）设等差数列{an}的公差为d ∵a7=4，a19=2a9， ∴

解得，a1=1，d= ∴（II）∵∴sn==

=

==

=

【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式及裂项求和方法的应用，试题比较容易

15．（2011?新课标）已知等比数列{an}中，a1=，公比q=． （Ⅰ）Sn为{an}的前n项和，证明：Sn=

（Ⅱ）设bn=log3a1+log3a2+…+log3an，求数列{bn}的通项公式．

【分析】（I）根据数列{an}是等比数列，a1=，公比q=，求出通项公式an和前n项和Sn，然后经过运算即可证明．

（II）根据数列{an}的通项公式和对数函数运算性质求出数列{bn}的通项公式． 【解答】证明：（I）∵数列{an}为等比数列，a1=，q=

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∴an=×=，

Sn=

又∵∴Sn=（II）∵an=

=

=Sn

∴bn=log3a1+log3a2+…+log3an=﹣log33+（﹣2log33）+…+（﹣nlog33） =﹣（1+2+…+n） =﹣

∴数列{bn}的通项公式为：bn=﹣

【点评】本题主要考查等比数列的通项公式、前n项和以及对数函数的运算性质．

16．（2015?天津）已知数列{an}满足an+2=qan（q为实数，且q≠1），n∈N*，a1=1，a2=2，且a2+a3，a3+a4，a4+a5成等差数列 （1）求q的值和{an}的通项公式； （2）设bn=

，n∈N*，求数列{bn}的前n项和．

【分析】（1）通过an+2=qan、a1、a2，可得a3、a5、a4，利用a2+a3，a3+a4，a4+a5成等差数列，计算即可； （2）通过（1）知bn=

，n∈N*，写出数列{bn}的前n项和Tn、2Tn的表达

式，利用错位相减法及等比数列的求和公式，计算即可．

【解答】解：（1）∵an+2=qan（q为实数，且q≠1），n∈N*，a1=1，a2=2， ∴a3=q，a5=q2，a4=2q，

又∵a2+a3，a3+a4，a4+a5成等差数列，

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~

∴2×3q=2+3q+q2， 即q2﹣3q+2=0， 解得q=2或q=1（舍），

∴an=；

（2）由（1）知bn===，n∈N*，

记数列{bn}的前n项和为Tn， 则Tn=1+2?+3?∴2Tn=2+2+3?+4?

+4?+5?

+

+…+（n﹣1）?+…+（n﹣1）?+…+

﹣n?

+n?+n?

， ，

两式相减，得Tn=3++

=3+=3+1﹣=4﹣

﹣n?．

﹣n?

【点评】本题考查求数列的通项与前n项和，考查分类讨论的思想，利用错位相减法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．

17．（2015?山东）已知数列{an}是首项为正数的等差数列，数列{n项和为

．

}的前

（1）求数列{an}的通项公式； （2）设bn=（an+1）?2【分析】（1）通过对cn=前n项和为

，求数列{bn}的前n项和Tn．

分离分母，并项相加并利用数列{

}的

即得首项和公差，进而可得结论；

··

~

（2）通过bn=n?4n，写出Tn、4Tn的表达式，两式相减后利用等比数列的求和公式即得结论．

【解答】解：（1）设等差数列{an}的首项为a1、公差为d，则a1＞0， ∴an=a1+（n﹣1）d，an+1=a1+nd， 令cn=则cn=

，

=[

﹣

]，

∴c1+c2+…+cn﹣1+cn=[=[==

又∵数列{∴

， ﹣

﹣+﹣+…+﹣]

]

，

}的前n项和为

，

∴a1=1或﹣1（舍），d=2， ∴an=1+2（n﹣1）=2n﹣1； （2）由（1）知bn=（an+1）?2

=（2n﹣1+1）?22n﹣1=n?4n，

∴Tn=b1+b2+…+bn=1?41+2?42+…+n?4n， ∴4Tn=1?42+2?43+…+（n﹣1）?4n+n?4n+1， 两式相减，得﹣3Tn=41+42+…+4n﹣n?4n+1=∴Tn=

．

?4n+1﹣，

【点评】本题考查求数列的通项及求和，利用错位相减法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．

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