北约自主招生数学试题及答案

4. 不妨设OA，OB夹角为?，则OP?1?t,OQ?2t，令

g(t)?PQ?(1?t)2?4t2?2?(1?t)?2tcos??(5?4cos?)t2?(?2?4cos?)t?1．

21?2cos?1?2x51?2cos?1．而f(x)?在(?,??)上单调增，故?1≤ ≤．

5?4cos?5?4x45?4cos?31?2cos?11?2cos?1?2?当0≤． ≤时，t0??(0,)，解得???5?4cos?35?4cos?523其对称轴为t?当?1≤1?2cos??0时，g(t)在[0,1]上单调增，于是t0?0．不合题意．

5?4cos??2?于是夹角的范围为[,]．

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5. 不存在；否则有cosx?sinx?cotx?tanx?则cosx?sinx?0或者1?(cosx?sinx)(cosx?sinx)，

sinxcosxcosx?sinx．

sinxcosx22?若cosx?sinx?0，有x?．而此时,,1,1不成等差数列；

224cosx?sinx若1?，有(sinxcosx)2?1?2sinxcosx．解得有sinxcosx?1?2．

sinxcosx11而sinxcosx?sin2x?(0,]，矛盾！

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