2011届高考数学权威预测：25选择题的解法

第二十五讲 选 择 题 的 解 法

一、题型特点：

1．高考数学试题中，选择题注重多个知识点的小型综合，渗透各种数学思想和方法，体现以考查“三基”为重点的导向，能否在选择题上获取高分，对高考数学成绩影响重大.解答选择题的基本要求是四个字——准确、迅速.

2．选择题主要考查基础知识的理解、基本技能的熟练、基本计算的准确、基本方法的运用、考虑问题的严谨、解题速度的快捷等方面. 解答选择题的基本策略是：要充分利用题设和选择支两方面提供的信息作出判断。一般说来，能定性判断的，就不再使用复杂的定量计算；能使用特殊值判断的，就不必采用常规解法；能使用间接法解的，就不必采用直接解；对于明显可以否定的选择应及早排除，以缩小选择的范围；对于具有多种解题思路的，宜选最简解法等。解题时应仔细审题、深入分析、正确推演、谨防疏漏；初选后认真检验，确保准确。

3．解数学选择题的常用方法，主要分直接法和间接法两大类.直接法是解答选择题最基本、最常用的方法；但高考的题量较大，如果所有选择题都用直接法解答，不但时间不允许，甚至有些题目根本无法解答.因此，我们还要掌握一些特殊的解答选择题的方法. 二、例题解析

1.直接求解法 涉及数学定义、定理、法则、公式的应用的问题，常通过直接演算得出结果，与选择支进行比照，作出选择，称之直接求解法．

例1、 圆x2＋2x＋y2＋4y－3＝0上到直线x＋y＋1＝0的距离为

2的点共有（ ）

Ａ.1个 Ｂ.2个 Ｃ.3个 Ｄ.4个 解 :本题的关键是确定已知直线与圆的相对位置,这就需对圆心到直线的距离作定量分析．将圆的方程化为(x＋1)2＋(y＋2)2＝(2

2)2,∴ r＝2

2.∵ 圆心(－1，－2)到直线

x＋y＋1＝0的距离d＝

例2、设F1、F2为双曲线的面积是（ ）

|?1?2?1|2x2＝

2,恰为半径的一半．故选Ｃ．

o

4－y＝1的两个焦点，点P在双曲线上满足∠F1PF2＝90，则△F1PF2

2

Ａ.1 Ｂ.5/2 Ｃ.2 Ｄ.5 解 ∵ |PF1|－|PF2|＝±2a＝±4，∴ |PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝16，

∵ ∠F1PF2＝90o，∴ S?FPF＝

1212|PF1|·|PF2|＝

14(|PF1|2＋|PF2|2－16).

又∵ |PF1|2＋|PF2|2＝(2c)2＝20.∴ S?FPF＝1，选Ａ．

12例3、 椭圆mx2＋ny2＝1与直线x＋y＝1交于A、B两点，过AB中点M与原点的直线斜率为

22，则

22mn的值为（ ）

233Ａ. Ｂ. Ｃ.1 Ｄ.

32

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分析:命题：“若斜率为k(k≠0)的直线与椭圆

xa22＋

yb22＝1（或双曲线

xa22－

yb22＝1）相交于

A、B的中点，则k·kOM＝－

ba22(或k·kOM＝

ba22)，”（证明留给读者）在处理有关圆锥曲线的

中点弦问题中有着广泛的应用．运用这一结论，不难得到：

1解 ∵ kAB·kOM＝－

ba22＝－

n1m＝－

mn,∴

mn＝－kAB·kOM＝1·

22＝

22，故选Ａ．

2.直接判断法

涉及有关数学概念的判断题，需依据对概念的全面、正确、深刻的理解而作出判断和选择．

例1、甲：“一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面”，乙：“两个二面角相等或互补．”则甲是乙的（ ） D1Ａ.充分而非必要条件 Ｂ.必要而非充分条件 Ｃ.充要条件 Ｄ.既非充分又非要条件 分析 显然“乙?甲”不成立，因而本题关键是判断 “甲?乙”是否成立？由反例：正方体中，二面角A1－AB －C与B1－DD1－A满足条件甲(图31－1)，但它们的度数

分别为90和45，并不满足乙，故应选Ｄ．

例2、下列四个函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ） Ａ.f(x)＝x＋lga?xa?x2C1B1A1DACBoo

Ｂ.f(x)＝(x－1)

1?x?1?x?2x?1x?1x?1

Ｃ.f(x)＝

1?x|x?2|?2 Ｄ.f(x)＝

x?12解 由于选择支Ｂ给出的函数的定义域为[－1，1]，该定义区间关于原点不对称，故选Ｂ． 3、特殊化法（即特例判断法）

例1．如右下图,定圆半径为a，圆心为 ( b ,c ), 则直线ax+by+c=0 与直线 x–y+1=0的交点在( B ) A. 第四象限 B. 第三象限 C. 第二象限 D. 第一象限 提示：取满足题设的特殊值a=2，b=–3，c=1

?2x?3y?1?0?x??2 解方程? 得 ? 于是排除A、C、D，故应选B

x?y?1?0y??1??yxO例2．函数f(x)=Msin(?x??) (??0)在区间[a，b]上是增函数，且f(a)=–M，

f(b)=M，则函数g(x)=Mcos(?x??)在[a，b]上（ C ）

A．是增函数 B．是减函数 C．可以取得最大值M D．可以取得最小值–M 解：取特殊值。令?=0，??1,M?1，则f(x)?sinx 因f(??2)??1,f(?2)?1，则[a,b]?[???2,2]，这时g(x)?cosx, 显然应选C

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例3．已知等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为（ C ） A．130 B．170 C．210 D．260

解：特殊化法。令m=1，则a1=S1=30，又a1+a2=S2=100 ∴a2=70, ∴等差数列的公差d=a2–a1=40，于是a3=a2+d=110, 故应选C 例4．已知实数a，b均不为零，

33asin??bsin?acos??bsin??tan?，且?????6，则

ba等于（ B ）

A．3 B． C．–3 D．–

3333

提示：特殊化法。取??0,??4、排除法（筛选法）

?2?x?1?例1．设函数f(x)??12??x?6，则

ba?tan?6? 故应选B

(x?0)，若f(x0)>1，则x0的取值范围是（ D ）

(x?0) A．(–1,1) B．(–1,+?) C．(–?,–2)?(0,+?) D．(–?,–1)?(1,+?) 例2．已知?是第三象限角，|cos?|=m，且sin1?m21?m2?2?cos?2?0，则cos?2等于（ D ）

A． B．– C．

1?m2 D．–

1?m2

例3．已知二次函数f(x)=x2+2(p–2)x+p，若f(x)在区间[0，1]内至少存在一个实数c，使

f( c)>0，

则实数p的取值范围是（ C ） A．（1，4） B．（1，+?） C．（0，+?） D．（0，1）

点评：排除法，是从选择支入手，根据题设条件与各选择支的关系，逐个淘汰与题设矛盾的选择支，从而筛选出正确答案。

5、数形结合法（图象法） 根据题目特点，画出图象，得出结论。 例1．对于任意x∈R，函数f(x)表示–x+3，

32x?12，x2–4x+3中的较大者，则f(x)的最

小值是（ A ）

A．2 B．3 C．8 D．–1

????????????例2．已知向量OB?(2,0)，向量OC?(2,2)，向量CA?(2cos?,????2sin?)，则向量OA????与向量OB的夹角的取值范围是（ D ）

A．[0，

?4] B．[

?4，

5?12] C．[

5?12，

?2] D．[

?12，

5?12]

例3．已知方程|x–2n|=kx(n∈N*)在区间[2n–1，2n+1]上有两个不相等的实数根，则k

的取值范围是（ B ）

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A．k>0 B．0

12n?1≤k≤12n?1 D．以上都不是

6、代入检验法（验证法）

将选择支中给出的答案（尤其关注分界点），代入题干逐一检验，从而确定正确答案的方法为验证法。

例1．已知a，b是任意实数，记|a+b|，|a–b|，|b–1|中的最大值为M，则（D ） A．M≥0 B．0≤M≤

12 C．M≥1 D．M≥

1212

解：把M=0代入，排除A、B；再把M=代入检验满足条件，排除C。

例2．已知二次函数f(x)?x2?2(p?2)x?p，若在区间[0，1]内至少存在一个实数c，

使f(c)?0，则实数p的取值范围是（ C ）

A．（1，4） B．（1，+∞） C．（0，+∞） D．（0，1） 解：取p=1代入检验。

?2x?y?12??2x?9y?36例3．(2004广东)变量x，y满足下列条件：?

2x?3y?24???x?0,y?0 则使得z=3x+2y的值的最小的(x，y)是（ B ）

A．（4.5，3） B．（3，6） C．（9，2） D．（6，4） 解：一一代入检验。代入运算后比较大小。

7、推理分析法

通过对四个选择支之间的逻辑关系的分析，达到否定谬误支，肯定正确支的方法，称之为逻辑分析法，例如：若“(A)真 ? (B)真”，则(A)必假，否则将与“只有一个选择支正确”的前提相矛盾．

例1 当x?[－4，0]时，a＋

?x?4x2≤

43x＋1恒成立，则a的一个可能值是（ ）

5Ａ.5 Ｂ. Ｃ.－ Ｄ.－5

335解 ∵

?x?4x2≥0， ∴ (A)真?(B)真?(C)真?(D)真， ∴ (D)真.

m?3m?5例3、已知sin? ＝

Ａ.

m?39?m,cos? ＝

4?2mm?5（

?2＜? ＜?）,则tg

1θ2＝( ).

Ｂ.|

2

2

m?39?m| Ｃ. Ｄ.5

3解 因受条件sin? ＋cos? ＝1的制约，故m为一确定值，于是sin? 、cos? 的值应与m无关，进而推知tg故选(Ｄ)．

θ2的值与m无关，∵

?2＜? ＜?， ∴

θ2?(

?4，

?2)，∴ tg

θ2＞1，

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