江苏省泰州中学2017届高三(下)期初数学试卷(解析版)

【点评】本题主要考察了平面与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，属于基本知识的考查．

17．（14分）（2016?泰州模拟）如图，江的两岸可近似的看成两平行的直线，江岸的一侧有A，B两个蔬菜基地，江的另一侧点C处有一个超市．已知A、B、C中任意两点间的距离为20千米．超市欲在AB之间建一个运输中转站D，A，BB两处蔬菜的差异，两处的蔬菜运抵D处后，再统一经过货轮运抵C处．由于A，这两处的运输费用也不同．如果从A处出发的运输费为每千米2元，从B处出发的运输费为每千米1元，货轮的运输费为每千米3元．

（1）设∠ADC=α，试将运输总费用S（单位：元）表示为α的函数S（α），并写出自变量的取值范围；

（2）问中转站D建在何处时，运输总费用S最小？并求出最小值．

【考点】解三角形的实际应用．

【分析】（1）由题在△ACD中，由正弦定理求得CD、AD的值，即可求得运输成本S的解析式．

（2）利用导数求得cosα=﹣时，函数S取得极小值，由此可得中转点D到A的距离以及S的最小值．

【解答】解：（1）由题在△ACD中，∵∠CAD=∠ABC=∠ACB=∴∠ACD=

﹣α．

，∠CDA=α，

又AB=BC=CA=20，△ACD中， 由正弦定理知

=

=

，得

CD=

，

AD=，…（3分）

∴S=2AD+BD+3CD=AD+3CD+20==10

?

?+20 （

＜α＜

+

）．…（7分）

+20

（2）S′=10，令S′=0，得cosα=﹣．…（10分）

当cosα＜﹣时，S′＜0；当cosα＞﹣时，S′＞0，∴当cosα=﹣时S取得最小值．…（12分） 此时，sinα=

，AD=10﹣

，

∴中转站距A处10﹣千米时，运输成本S最小．…（14分）

【点评】本题主要考查正弦定理，利用导数研究函数的单调性，由函数的单调性求极值，属于中档题．

18．（16分）（2017?广元模拟）已知点P是椭圆C上任一点，点P到直线l1：x=﹣2的距离为d1，到点F（﹣1，0）的距离为d2，且

=

．直线l与椭圆C

交于不同两点A、B（A，B都在x轴上方），且∠OFA+∠OFB=180°． （1）求椭圆C的方程；

（2）当A为椭圆与y轴正半轴的交点时，求直线l方程；

（3）对于动直线l，是否存在一个定点，无论∠OFA如何变化，直线l总经过此定点？若存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由．

【考点】直线与圆锥曲线的综合问题． 【分析】（1）设P（x，y），得

，由此能求出椭圆C的方

程．

（2）由已知条件得kBF=﹣1，BF：y=﹣1（x+1）=﹣x﹣1，代入3x2+4x=0，由此能求出直线l方程．

（3）B关于x轴的对称点B1在直线AF上．设直线AF方程：y=k（x+1），代入

，得：

2，0）．

【解答】（1）解：设P（x，y），则

，

化简得：

，

．…（4分）

，…（2分）

，由此能证明直线l总经过定点M（﹣

，得：

∴椭圆C的方程为：

（2）解：∵A（0，1），F（﹣1，0）， ∴

，∠OFA+∠OFB=180°，

∴kBF=﹣1，BF：y=﹣1（x+1）=﹣x﹣1…（6分） 代入

，得：3x2+4x=0，

∴，代入y=﹣x﹣1得，

∴…（8分）

，∴，…（10分）

（3）证明：由于∠OFA+∠OFB=180°，所以B关于x轴的对称点B1在直线AF上．

设A（x1，y1），B（x2，y2），B1（x2，﹣y2） 设直线AF方程：y=k（x+1），代入得：

，

，…（13分）

，，，

令y=0，得：

y1=k（x1+1），y2=k（x2+1），

，

=

，…（15分）

∴直线l总经过定点M（﹣2，0）…（16分）．

【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查直线方程的求法，考查直线总过定点的证明，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．

19．（16分）（2016秋?秀屿区校级期中）已知函数f（x）=lnx﹣ax+，且f（x）+f（）=0，其中a，b为常数．

（1）若函数f（x）的图象在x=1的切线经过点（2，5），求函数的解析式； （2）已知0＜a＜1，求证：f（

）＞0；

（3）当f（x）存在三个不同的零点时，求a的取值范围． 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．

【分析】（1）利用赋值法，令x=1，得到f（1）=0，则切点为（1，0），从而可求出切线的斜率k=5，即f'（1）=5．由方程组值；

，即可求出a，b的