江苏省泰州中学2017届高三（下）期初数学试卷（解析版）

当4n+2＜t≤4n+时，h（t）的值域为[1﹣当4n+＜t＜4n+3时，h（t）的值域为[1﹣综上，h（t）=M（t）﹣m（t）的值域为故答案是：

．

，1）， ，1）．

．

【点评】本题考查三角函数的性质和运用，考查函数的周期性和单调性及运用，考查运算能力，有一定的难度．

13．已知A是射线x+y=0（x≤0）上的动点，B是x轴正半轴的动点，若直线AB与圆x2+y2=1相切，则|AB|的最小值是 【考点】直线与圆的位置关系．

【分析】设A（﹣a，a），B（b，0）（a，b＞0），利用直线AB与圆x2+y2=1相切，结合基本不等式，得到

，即可求出|AB|的最小值．

．

【解答】解：设A（﹣a，a），B（b，0）（a，b＞0），则直线AB的方程是ax+（a+b）y﹣ab=0．

因为直线AB与圆x2+y2=1相切，所以利用基本不等式得从而得当

，即

．

，

时，|AB|的最小值是

．

，化简得2a2+b2+2ab=a2b2，

，即，

故答案为

【点评】本题考查圆的切线，考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，有难度．

14．已知函数f（x）=x3+mx+，g（x）=﹣lnx，min{a，b}表示a，b中的最小值，若函数h（x）=min{f（x），g（x）}（x＞0）恰有三个零点，则实数m的取值范围是 （﹣，﹣） ．

【考点】利用导数研究函数的极值；函数零点的判定定理． 【分析】由已知可得m＜0，进而可得若h（x）有3个零点，则＞0，f（

）＜0，解得答案．

＜1，f（1）

【解答】解：∵f（x）=x3+mx+， ∴f′（x）=3x2+m，

若m≥0，则f′（x）≥0恒成立，函数f（x）=x3+mx+至多有一个零点， 此时h（x）不可能有3个零点，故m＜0， 令f′（x）=0，则x=±∵g（1）=0，

∴若h（x）有3个零点，则

＜1，f（1）＞0，f（

）＜0，

，

即，

解得：m∈（﹣，﹣）， 故答案为：（﹣，﹣）．

【点评】本题考查的知识点是函数零点及零点个数的判断，分类讨论思想，函数和方程的思想，转化思想，难度中档．

二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.

15．（14分）（2015?陕西模拟）△ABC中，sinA=sinB=﹣cosC （1）求A，B，C．

（2）若BC边上的中线AM的长为，求△ABC的面积．

【考点】正弦定理；三角形的面积公式．

【分析】（1）由sinA=sinB，得到A=B，再由诱导公式得到cosC=﹣cos2A，代入sinA=﹣cosC中，变形求出sinA的值，由A为三角形内角求出A的度数，即可确定出B，C的度数；

（2）设CA=CB=x，表示出CM，在三角形ACM中，利用余弦定理列出方程，求出方程的解得到x的值，确定出CA与CB的长，即可求出三角形ABC的面积． 【解答】解：（1）∵sinA=sinB，且A，B为△ABC的内角， ∴A=B， ∵A+B+C=π，

∴cosC=cos（π﹣2A）=﹣cos2A，

∴sinA=﹣cosC=cos2A=1﹣2sin2A，即（2sinA﹣1）（sinA+1）=0， ∴sinA=，或sinA=﹣1（舍去）， ∴A=B=

，C=

；

（2）设CA=CB=x，则CM=x，

AM2=AC2+MC2﹣2AC?CM?cosC，在△ACM中，利用余弦定理得：即7=x2+x2+x2，

解得：x=2，

则S△ABC=CA?CB?sinC=

．

【点评】此题考查了正弦定理，余弦定理，以及三角形面积公式，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．

16．（14分）（2015?盐城一模）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O，E分别为B1D，AB的中点．

（1）求证：OE∥平面BCC1B1； （2）求证：平面B1DC⊥平面B1DE．

【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．

【分析】（1）：连接BC1，设BC1∩B1C=F，连接OF，可证四边形OEBF是平行四边形，又OE?面BCC1B1，BF?面BCC1B1，可证OE∥面BCC1B1．

（2）先证明BC1⊥DC，再证BC1⊥面B1DC，而BC1∥OE，OE⊥面B1DC，又OE?面B1DE，从而可证面B1DC⊥面B1DE． 【解答】

证明：（1）：连接BC1，设BC1∩B1C=F，连接OF，…2分 因为O，F分别是B1D与B1C的中点，所以OF∥DC，且又E为AB中点，所以EB∥DC，且d1=1， 从而

，即四边形OEBF是平行四边形，

，

所以OE∥BF，…6分

又OE?面BCC1B1，BF?面BCC1B1， 所以OE∥面BCC1B1．…8分

（2）因为DC⊥面BCC1B1，BC1?面BCC1B1， 所以BC1⊥DC，…10分

又BC1⊥B1C，且DC，B1C?面B1DC，DC∩B1C=C， 所以BC1⊥面B1DC，…12分

而BC1∥OE，所以OE⊥面B1DC，又OE?面B1DE， 所以面B1DC⊥面B1DE．…14分