（课标通用）2018年高考数学一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数 2.3 函数的奇偶性与周期性学案 理

是偶函数，则下列结论中正确的是( )

A．f(x)g(x)是偶函数 B．|f(x)|g(x)是奇函数 C．f(x)|g(x)|是奇函数 D．|f(x)g(x)|是奇函数 答案：C

解析：A：令h(x)＝f(x)g(x)，

则h(－x)＝f(－x)·g(－x)＝－f(x)g(x)＝－h(x)， ∴h(x)是奇函数，A错．

B：令h(x)＝|f(x)|g(x)，则h(－x)＝|f(－x)|·g(－x)＝|－f(x)|g(x)＝|f(x)|g(x)＝h(x)，

∴h(x)是偶函数，B错．

C：令h(x)＝f(x)|g(x)|，则h(－x)＝f(－x)|g(－x)|＝－f(x)|g(x)|，∴h(x)是奇函数，C正确．

D：令h(x)＝|f(x)g(x)|，则h(－x)＝|f(－x)g(－x)|＝|－f(x)g(x)|＝|f(x)g(x)|＝

h(x)，∴h(x)是偶函数，D错．

3．[2016·山东卷]已知函数f(x)的定义域为R.当x＜0时，f(x)＝x－1；当－1≤x≤11?1??1?时，f(－x)＝－f(x)；当x＞时，f?x＋?＝f?x－?，则f(6)＝( ) 2?2??2?

A．－2 C．0 答案：D

1

解析：由题意可知，当－1≤x≤1时，f(x)为奇函数，且当x>时，f(x＋1)＝f(x)，所

2以f(6)＝f(5×1＋1)＝f(1)．而f(1)＝－f(－1)＝－[(－1)－1]＝2，所以f(6)＝2.故选D.

4．[2015·新课标全国卷Ⅰ]若函数f(x)＝xln(x＋a＋x)为偶函数，则a＝________. 答案：1

解析：∵ f(x)为偶函数，∴ f(－x)－f(x)＝0恒成立，∴ －xln(－x＋a＋x)－xln(x＋a＋x)＝0恒成立，∴ xln a＝0恒成立，

∴ ln a＝0，即a＝1.

5．[2016·四川卷]已知函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当0

2

2

23

3

B．－1 D．2

?5?x＝4，则f?－?＋f(1)＝________.

?2?

答案：－2

解析：因为f(x)是定义在R上的奇函数，

所以f(0)＝0.又f(x)＝ －f(－x)，f(x＋2)＝f(x)，所以f(x＋1)＝－f(1－x)， 令x＝0，得f(1)＝－f(1)，所以f(1)＝0.

f?－?＝f?－2－?＝f?－?

222

?5???

??

1?

?

?1???

?1?＝－f??＝－2， ?2??5?所以f?－?＋f(1)＝－2. ?2?

课外拓展阅读 四招突破抽象函数问题

抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数．抽象函数问题的解决，往往要从函数的奇偶性、单调性、周期性以及函数的图象入手，下面我们从4个不同的方面来探寻一些做题的规律．

1．抽象函数的定义域

抽象函数的定义域是根据已知函数的定义域，利用代换法得到不等式(组)进行求解的，另外，还要满足分式的分母不为0、被开方数非负、对数的真数大于0等一些常规的要求．

fx2－

[典例1] 已知函数y＝f(x)的定义域是[0,8]，则函数g(x)＝2－log2x＋

为________．

[思路分析]

的定义域

0≤x－1≤8，??

[解析] 要使函数有意义，须使?x＋1>0，

??2－log2x＋1≤x≤9，??

即?x>－1，??x≠3，

2

2

，

解得1≤x<3，

所以函数g(x)的定义域为[1,3)． [答案] [1,3) 方法探究

求解复合函数y＝f(g(x))的定义域，常常通过换元设t＝g(x)，根据函数y＝f(t)的定义域，得到g(x)的范围，从而解出x的范围．同时，在求函数的定义域时要兼顾函数的整体结构，要使函数各部分都有意义．

2．抽象函数的函数值

赋值法是抽象函数求函数值的重要方法，通过观察与分析抽象函数问题中已知与未知的关系寻找有用的取值，挖掘出函数的性质，特别是借助函数的奇偶性和周期性来转化解答．

[典例2] 若定义在实数集R上的偶函数f(x)满足f(x)>0，f(x＋2)＝∈R恒成立，则f(2 015)＝( )

A．4 C．2 [思路分析]

B．3 D．1

1

fx，对任意x

[解析] 因为f(x)>0，f(x＋2)＝所以f(x＋4)＝f((x＋2)＋2) ＝

1

fx，

f1x＋

＝11

＝f(x)，

fx即函数f(x)的周期是4.

所以f(2 015)＝f(504×4－1)＝f(－1)， 因为函数f(x)为偶函数， 所以f(2 015)＝f(－1)＝f(1)． 当x＝－1时，f(－1＋2)＝

f1－

，得

f(1)＝

1

f. 即f(1)＝1，所以f(2 015)＝f(1)＝1. [答案] D 方法探究

对于抽象函数，常常利用恰当赋值解答问题，在赋值时要注意观察变量与所求问题之间的关系，有时需要进行多次赋值．

3．抽象函数的奇偶性

抽象函数的奇偶性就是要判断－x对应的函数值与x对应的函数值之间的关系，从而得到函数图象关于原点或y轴对称，再结合函数的图象作出进一步的判断．

[典例3] 已知函数f(x)对任意x，y∈R，都有f(x＋y)＋f(x－y)＝2f(x)f(y)，且

f(0)≠0，求证：f(x)是偶函数．

[思路分析]

[证明] 已知对任意x，y∈R，都有f(x＋y)＋f(x－y)＝2f(x)f(y)， 不妨取x＝0，y＝0，则有2f(0)＝2[f(0)]， 因为f(0)≠0，所以f(0)＝1.

取x＝0，得f(y)＋f(－y)＝2f(0)f(y)＝2f(y)， 所以f(y)＝f(－y)．

又y∈R，所以函数f(x)是偶函数． 方法探究

在利用函数奇偶性的定义进行判断时，如果等式中还有其他的量未解决，例如本题中的

2

f(0)，就需要令x，y取特殊值进行求解．

4．抽象函数的单调性与抽象不等式

抽象函数的单调性一直是高考考查的难点，常出现在一些综合性问题中，需要先对所含的参数进行分类讨论或根据已知条件确定出参数的范围，再根据单调性求解或证明抽象不等式．

[典例4] 设函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数，且满足f(xy)＝f(x)＋f(y)．若

f(3)＝1，且f(a)>f(a－1)＋2，求实数a的取值范围．

[思路分析]

[解] 因为f(xy)＝f(x)＋f(y)，且f(3)＝1， 所以2＝2f(3)＝f(3)＋f(3)＝f(9)．

又f(a)>f(a－1)＋2，所以f(a)>f(a－1)＋f(9)． 再由f(xy)＝f(x)＋f(y)，可知f(a)>f(9(a－1))． 因为f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数，

a>0，??

a－从而有??a－?a，

，

9

解得1

8

?9?故所求实数a的取值范围为?1，?. ?8?

易错提醒

解答此类抽象不等式问题，不仅要注意函数单调性的应用，还要注意定义域的限制，以

??a>0，

保证转化的等价性．如本题中许多同学容易漏掉?

?a－?

，

而直接利用单调性得出

a>9(a－1)．