（课标通用）2018年高考数学一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数 2.3 函数的奇偶性与周期性学案 理

(2)若f(x＋a)＝

1

fx，则T＝__________；

(3)若f(x＋a)＝f(x＋b)，则T＝________. 答案：(1)2|a| (2)2|a| (3)|a－b| 解析：(1)因为f(x＋2a)＝f(x＋a＋a) ＝－f(x＋a)＝f(x)， 所以其最小正周期T＝2|a|. (2)因为f(x＋2a)＝f(x＋a＋a) ＝

f1

＝f(x)， x＋a所以其最小正周期T＝2|a|. (3)f(x＋a－b)＝f[(x－b)＋a] ＝f[(x－b)＋b]＝f(x)， 所以其最小正周期T＝|a－b|.

[典题2] (1)[2017·山西晋中模拟]已知f(x)是R上的奇函数，f(1)＝2，且对任意x∈R都有f(x＋6)＝f(x)＋f(3)成立，则f(2 017)＝________.

[答案] 2

[解析] ∵f(x)是R上的奇函数，∴f(0)＝0， 又对任意x∈R都有f(x＋6)＝f(x)＋f(3)， ∴当x＝－3时，有f(3)＝f(－3)＋f(3)＝0， ∴f(－3)＝0，f(3)＝0， ∴f(x＋6)＝f(x)，周期为6. 故f(2 017)＝f(1)＝2.

(2)设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x.

①求函数的最小正周期；

②计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 015)． [解] ①∵f(x＋2)＝－f(x)， ∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)． ∴f(x)的最小正周期为4. ②f(0)＝0，f(1)＝1，f(2)＝0，

2

f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－1.

又∵f(x)是周期为4的周期函数，

∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)＝…＝f(2 012)＋f(2 013)＋f(2 014)＋f(2 015)＝0，

∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 015)＝0.

[题点发散1] 若本例(2)中条件变为“f(x＋2)＝－期．

解：∵对任意x∈R，都有f(x＋2)＝－∴f(x＋4)＝f(x＋2＋2)＝－1x＋

1

1

fx”，求函数f(x)的最小正周

fx＝－

， 1－

1

＝f(x)，∴f(x)的最小正周期为4.

ffx[题点发散2] 若本例(2)中条件改为：定义在R上的函数f(x)满足f(x＋6)＝f(x)，当－3≤x<－1时，f(x)＝－(x＋2)；当－1≤x<3时，f(x)＝x.求f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 015)的值．

解：∵f(x＋6)＝f(x)，∴T＝6. ∵当－3≤x<－1时，f(x)＝－(x＋2)； 当－1≤x<3时，f(x)＝x.

∴f(1)＝1，f(2)＝2，f(3)＝f(－3)＝－1，

2

2

f(4)＝f(－2)＝0，f(5)＝f(－1)＝－1， f(6)＝f(0)＝0，

∴f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝1，

∴f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝f(7)＋f(8)＋…＋f(12)＝…＝f(2 005)＋f(2 006)＋…＋

f(2 010)＝1，

2 010

∴f(1)＋f(2)＋…＋f(2 010)＝1×＝335.

6

而f(2 011)＋f(2 012)＋f(2 013)＋f(2 014)＋f(2 015)＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋

f(5)＝1＋2－1＋0－1＝1.

∴f(1)＋f(2)＋…＋f(2 015)＝335＋1＝336.

[题点发散3] 在本例(2)条件下，求f(x)(x∈[2,4])的解析式． 解：当x∈[－2,0]时，－x∈[0,2]，

由已知得f(－x)＝2×(－x)－(－x)＝－2x－x， 又f(x)是奇函数，

∴f(－x)＝－f(x)＝－2x－x.

2

2

2

∴f(x)＝x＋2x.

又当x∈[2,4]时，x－4∈[－2,0]， ∴f(x－4)＝(x－4)＋2(x－4)． 又f(x)是周期为4的周期函数，

∴f(x)＝f(x－4)＝(x－4)＋2(x－4)＝x－6x＋8. 故x∈[2,4]时，f(x)＝x－6x＋8. [点石成金] 1.判断函数周期性的两种方法 (1)定义法．(2)图象法．

2．判断函数周期性的三个常用结论

若对于函数f(x)定义域内的任意一个x都有：

(1)f(x＋a)＝－f(x)(a≠0)，则函数f(x)必为周期函数，2a是它的一个周期． (2)f(x＋a)＝

11

22

2

2

2

fx(a≠0)，则函数f(x)必为周期函数，2a是它的一个周期． (a≠0)，则函数f(x)必为周期函数，2a是它的一个周期．

(3)f(x＋a)＝－

fx3．函数周期性的重要应用

利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化为已知区间上的相应问题，进而求解.

1.已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x<2时，f(x)＝x－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点的个数为( )

A．6 C．8 答案：B

解析：∵f(x)是最小正周期为2的周期函数，且0≤x<2时，f(x)＝x－x＝x(x－1)(x＋1)，

∴当0≤x<2时，f(x)＝0有两个根，即x1＝0，x2＝1.

由周期函数的性质知，当2≤x<4时，f(x)＝0有两个根，即x3＝2，x4＝3； 当4≤x≤6时，f(x)＝0有两个根，即x5＝4，x6＝5，x7＝6也是f(x)＝0的根． 故函数f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴交点的个数为7.

2．[2017·广东广州模拟]已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋2)＝－f(x)，当2≤x≤3时，f(x)＝x，则f(105.5)＝________.

答案：2.5

3

3

B．7 D．9

解析：由f(x＋2)＝－f(x)，得f(x＋4)＝f((x＋2)＋2)＝－f(x＋2)＝－[－f(x)]＝f(x)，所以函数f(x)的周期为4，所以f(105.5)＝f(4×27－2.5)＝f(－2.5)＝f(2.5)＝2.5.

考点3 函数性质的综合应用

(1)[教材习题改编]若f(x)是偶函数且在(0，＋∞)上为增函数，则函数f(x)在(－∞，0)上为________．

答案：减函数

(2)[教材习题改编]设函数f(x)是定义在R上的奇函数，若当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝lg x，则满足f(x)>0的x的取值范围是________．

答案：(－1,0)∪(1，＋∞)

[考情聚焦] 高考常将函数的单调性、奇偶性及周期性相结合来命题，以选择题或填空题的形式考查，难度稍大，为中高档题．

主要有以下几个命题角度： 角度一 奇偶性的应用

[典题3] (1)[2017·河北武邑中学高三上期中]已知f(x)满足对?x∈R，f(－x)＋f(x)＝0，且x≥0时，f(x)＝e＋m(m为常数)，则f(－ln 5)的值为( )

A．4 C．6 [答案] B

[解析] 由题设函数f(x)是奇函数，故f(0)＝e＋m＝1＋m＝0，即m＝－1，所以f(－ln 5)＝－f(ln 5)＝－e

ln 5

0

xB．－4 D．－6

＋1＝－5＋1＝－4，故选B.

(2)设函数f(x)＝[答案] －1 [解析] ∵f(x)＝

x＋

xx＋a为奇函数，则a＝________.

x＋

xx＋a为奇函数，