（课标通用）2018年高考数学一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数 2.3 函数的奇偶性与周期性学案 理

§2.3 函数的奇偶性与周期性

考纲展示?

1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义． 2．会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性．

3．了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性．

考点1 函数奇偶性的判断

函数的奇偶性 奇偶性 偶函数 定义 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有________，那么函数f(x)就叫做偶函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有________，那么函数f(x)就叫做奇函数 图象特点 关于________对称 奇函数 关于________对称 答案：f(－x)＝f(x) y轴 f(－x)＝－f(x) 原点

113, 42

[教材习题改编] 函数f(x)＝xf(x)＝x，f(x)＝x－2，f(x)＝＋|x|中，偶函数的个

xx数是__________．

答案：2

142

解析：f(x)＝x和f(x)＝x－2为偶函数．

x

判断函数奇偶性的易错点：忽略定义域；变形错误． (1)函数f(x)＝(x＋1)偶”)

答案：非奇非偶

1－x在定义域上是________函数．(填“奇”“偶”或“非奇非1＋x1－xx－1

解析：要使函数有意义，必须使≥0，即≤0，解得－1

1＋xx＋1原点对称，所以函数f(x)为非奇非偶函数．

x－2，x<－1，??

(2)函数f(x)＝?0，|x|≤1，

??－x2＋2，x>1

或“非奇非偶”)

答案：奇

2

在定义域上是__________函数．(填“奇”“偶”

解析：当x>1时，－x<－1，所以f(－x)＝(－x)－2＝－(－x＋2)＝－f(x)； 当x<－1时，－x>1，所以f(－x)＝－(－x)＋2＝－(x－2)＝－f(x)； 当|x|≤1时，f(－x)＝0＝－f(x)． 综上可知f(x)是奇函数．

2

2

22

[典题1] 判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝xlg(x＋x＋1)； (2)f(x)＝(1－x)2

21＋x； 1－x??－x＋2x＋1，x>0，

(3)f(x)＝?2

?x＋2x－1，x<0；?

4－x(4)f(x)＝.

|x＋3|－3

[解] (1)∵x＋1＞|x|≥0，

∴函数f(x)的定义域为R，关于原点对称， 又f(－x)＝(－x)lg[－x＋

2

2

2

－x2

2＋1]

＝－xlg(x＋1－x)＝xlg(x＋1＋x)＝f(x)． 即f(－x)＝f(x)，∴f(x)是偶函数． 1＋x(2)当且仅当≥0时函数有意义，

1－x∴－1≤x＜1，

由于定义域关于原点不对称， ∴函数f(x)是非奇非偶函数．

(3)函数的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称， 当x＞0时，－x＜0，f(－x)＝x－2x－1＝－f(x)，

2

当x＜0时，－x＞0，f(－x)＝－x－2x＋1＝－f(x)． ∴f(－x)＝－f(x)，即函数是奇函数．

??4－x≥0，(4)∵?

??|x＋3|≠3

2

2

?－2≤x≤2且x≠0，

∴函数的定义域关于原点对称． 4－x4－x∴f(x)＝＝，

x＋3－3x4－－x又f(－x)＝

－x2

2

2

＝－

4－x2

x，

∴f(－x)＝－f(x)，即函数是奇函数． [点石成金] 判定函数奇偶性的三种常用方法 (1)定义法：

(2)图象法：

(3)性质法：

①设f(x)，g(x)的定义域分别是 D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．

②复合函数的奇偶性可概括为“同奇则奇，一偶则偶”．

[提醒] (1)“性质法”中的结论是在两个函数的公共定义域内才成立的．

(2)判断分段函数的奇偶性应分段分别证明f(－x)与f(x)的关系，只有对各段上的x都满足相同的关系时，才能判断其奇偶性．

考点2 函数的周期性

函数的周期性 (1)周期函数：

对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有________，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．

(2)最小正周期：

如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个________的正数，那么这个________就叫做

f(x)的最小正周期．

答案：(1)f(x＋T)＝f(x) (2)最小 最小正数

(1)[教材习题改编]已知函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，当x∈(0,1]时，f(x)＝log4(x＋3)，则f(2 017)＝__________.

答案：1

解析：因为f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)是以2为周期的周期函数，所以f(2 017)＝f(1 008×2＋1)＝f(1)＝log4(1＋3)＝1.

(2)[教材习题改编]设f(x)是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f(x)＝2x(1－x)，则

2

2

f?－?＝________.

1

答案：－

2

?5??2?

周期性三个常用结论．

对f(x)定义域内任一自变量的值x，最小正周期为T. (1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝__________；