高中数学充分条件必要条件与命题的四种形式1_3_1推出与充分条件必要条件课堂导学案

1.3.1 推出与充分条件、必要条件

课堂导学

三点剖析

一、充分条件与必要条件的判断

【例1】在下列各题中，判断A是B的什么条件，并说明理由.

2

(1)A：|p|≥2，p∈R.B：方程x+px+p+3=0有实根；

2222222

(2)A：圆x+y=r与直线ax+by+c=0相切.B：c=(a+b)r.

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解析：(1)当|p|≥2时，例如p=3，则方程x+3x+6=0无实根，而方程x+px+p+3=0有实根，必有p≤-2或p≥6，可推出|p|≥2，故A是B的必要不充分条件.

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(2)若圆x+y=r与直线ax+by+c=0相切，圆心到直线ax+by+c=0的距离等于r，即

r=

|c|a2?b2，所以c=(a+b)r；反过来，若c=(a+b)r，则

2

2

2

22222222

|c|a2?b2=r成立，说明x+y=r222

的圆心(0,0)到直线ax+by+c=0的距离等于r，即圆x+y=r与直线ax+by+c=0相切，故A是

B的充分必要条件. 温馨提示

对于涉及充分必要条件判断的问题，必须以准确、完整理解充分、必要条件的概念为基础，有些问题需转化为等价命题后才容易判断. 二、探究充分条件与必要条件 【例2】 设定义域为R的函数f(x)=??|lg|x?1||,x?12

则关于x的方程f(x)+bf(x)+c=0有

?0,x?1,7个不同实数解的充要条件是( )

A.b＜0且c＞0 B.b＞0且c＜0 C.b＜0且c=0 D.b≥0且c=0

?|lg(x?1)|,x?1,? x?1, 解析：f(x)=?0, ?|lg(1-x)|,x?1?

故函数f(x)的图象如右图.

由图知，f(x)图象关于x=1对称，且f(x)≥0,

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若方程f(x)+bf(x)+c=0 ①有7个解，则方程t+bt+c=0 ②有两个不等实根，且一根为正，一根为0.否则，若方程②有两相等实根，则方程①至多有4个解，若方程②有两个不等正实根，则方程①有8个解. ∵f(x)=0满足方程，则c=0,

又∵另一个f(x)＞0, ∴b=-f(x)＜0.

故b＜0且c=0,选C. 答案：C 温馨提示

充分与必要条件的寻找，要重视它们的定义 三、充要条件的证明

2

【例3】 证明：关于x的方程ax+bx+c=0有一根为-1的充要条件是a-b+c=0. 证明：①充分性 ∵a-b+c=0

2

∴a·(-1)+b·(-1)+c=0

2

∴x=-1是方程ax+bx+c=0的一个根

2

∴a-b+c=0是关于x的方程ax+bx+c=0有一个根为-1的充分条件. ②必要性

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∵x=-1是方程ax+bx+c=0的根

2

∴a·(-1)+b·(-1)+c=0即a-b+c=0

2

∴a-b+c=0是关于x的方程ax+bx+c=0有一个根为-1的必要条件.

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综合①②关于x的方程ax+bx+c=0有一个根为-1的充要条件是a-b+c=0.

温馨提示

p是q的充要条件，充分性是指p?q，必要性是指q?p.而p的充要条件是q，充分性则是指q?p，必要性则是指p?q.

各个击破 类题演练１

在△ABC中，命题p：

abc??，命题q：△ABC是等边三角形，那么命题psinBsinCsinA是命题q的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件

D.既不充分又不必要条件 解析：由已知和正弦定理，得令

sinAsinBsinC??, sinBsinCsinAsinAsinBsinC???k, sinBsinCsinA?sinA?ksinB,?则?sinB?ksinC, ?sinC?ksinA,?解得k=1.

∴sinA=sinB=sinC, ∴A=B=C. ∴p?q，p是q的充分条件， 若△ABC为等边三角形，

则a=b=c,A=B=C, ∴

abc??. sinBsinCsinA∴q?p，q是q的必要条件. ∴p为q的充分必要条件. ∴答案：C

变式提升１

命题甲：“a,b,c成等差数列”是命题乙A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

解析：若a=b=c=0，则a,b,c也成等差数列，但推不出反过来由

ac?=2的( ) bbac?=2 bbac?=2?a+c=2b，即a,b,c成等差数列，故选A. bb

类题演练2

对任意实数a,b,c，给出下列命题： ①“a=b”是“ac=bc”的充要条件

②“a+5是无理数”是“a是无理数”的充要条件

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③“a＞b”是“a＞b”的充分条件 ④“a＜5”是“a＜3”的必要条件 其中真命题的个数是( )

A.1 B.2 C.3 D.4 解析：①中，当c=0时，ac=bc/a=b.

故“a=b”是“ac=bc”的充分不必要条件，故①错误.

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③中，“a>b”是“a>b”的既不充分也不必要条件，故③错误. ②④正确. 答案：B

变式提升2

已知条件p：x+y≠-2，条件q：x,y不都是-1，则p是q的( )条件. A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要 解析：p：x+y≠-2,q：x≠-1或y≠-1. p：x+y=-2，q：x=-1且y=-1. ∵q?p，但p/q.

∴p是q的充分且不必要条件，选A.

类题演练3

2

证明一元二次方程ax+bx+c=0有一正根和一负根的充要条件是ac＜0

证明：充分性：若ac<0，则b-4ac>0且

2

2

c<0 a∴方程ax+bx+c=0有两个相异实根，且两根异号，即方程有一正根和一负根

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必要性：若一元二次方程ax+bx+c=0有一正根和一负根 则Δ=b-4ac>0,x1·x2=∴ac<0.

变式提升3 已知p：|1-2

c<0 ax?122

|≤2，q：x-2x+1-m≤0(m＞0)，且3p是q的必要而不充分条件，求实

数m的取值范围.

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解析：由x-2x+1-m≤0得 1-m≤x≤1+m,

∴q：A={x|x>1+m或x<1-m,m>0}， 由|1-∴∵

x?1|≤2得-2≤x≤10, 3p：B={x|x>10或x<-2}.

p是q的必要而不充分条件，

?m?0,?∴A?B??1?m??2,解得m≥9.

?1?m?10,?