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基于matlaB编程的有限元法
一、待求问题：
泛定方程：???=x
边界条件：以（0,-1），（0,1），（1,0）为顶点的三角形区域边界上?=0
2二、编程思路及方法
1、给节点和三角形单元编号，并设定节点坐标
画出以（0,-1），（0,1），（1,0）为顶点的三角形区域figure1
由于积分区域规则，故采用特殊剖分单元，将区域沿水平竖直方向分等份，此时所有单元都是等腰直角三角形，剖分单元个数由自己输入，但竖直方向份数（用Jmax表示）必须是水平方向份数（Imax）的两倍，所以用户只需输入水平方向的份数Imax。
采用上述剖分方法，节点位置也比较规则。然后利用循环从区域内部（非边界）的节点开始编号，格式为NN(i,j)=n1，i，j分别表示节点所在列数与行数，并将节点坐标存入相应矩阵X(n1)，Y(n1)。由于区域上下两部分形状不同因此，
分两个循环分别编号赋值，然后再对边界节点编号赋值。
然后再每个单元的节点进行局部编号，由于求解区域和剖分单元的特殊性，分别对内部节点对应左上角正方形的两个三角形单元，上左，左上，下斜边界节点要对应三个单元，上左，左上，左下，右顶点的左下、左上，右上边界的左上，分别编号以保证覆盖整个区域。
2、求解泊松方程
首先一次获得每个单元节点的整体编号，然后根据其坐标求出每个三角形单元的面积。利用有限元方法的原理，分别求出系数矩阵和右端项，并且由于边界条件特殊，边界上?=0，因此做积分时只需对场域单元积分而不必对边界单元积分。求的两个矩阵后很容易得到节点电位向量，即泊松方程的解。
3、画解函数的平面图和曲面图
由节点单位向量得到，j行i列节点的电位，然后调用绘图函数imagesc(NNV)与surf(X1,Y1,NNV')分别得到解函数的平面图figure2和曲面图figure3。
4、将结果输出为文本文件
输出节点编号，坐标，电位值
三、计算结果
1、积分区域：
10.80.60.40.20-0.2-0.4-0.6-0.8-100.10.20.30.40.50.60.70.80.91
2、f=1，x方向75份，y方向150份时，解函数平面图和曲面图
10203040500.030.0250.020.0150.01600.0057020406080100120140
0.030.040.0250.030.020.020.0150.010.01021.510.5000.40.20.60.810.005
对比：当f=1时，界函数平面图
0.071020300.04400.03500.02600.0170204060801001201400.060.05
3、输出文本文件由于节点多较大，列在本文最末
四、结果简析
由于三角形区域分布的是正电荷，因此必定电位最高点在区域中部，且沿x轴对称，三角形边界电位最低等于零。当f=1时，发现电位最高点向x轴负方向移动了，这是由于此时电荷在三角形区域上均匀分布，而f=x时，x越大面电荷密度越大，附近相应电位越高，所得图像与实际情况相符。
五、MatlaB源程序
1、Finite_element_tri.m文件
function Finite_element_tri(Imax)
% 用有限元法求解三角形形区域上的Possion方程,其中a为1，f=x Jmax=2*Imax;
% 其中Imax Jmax分别表示x轴和y轴方向的网格数，其中Jmax等于Imax的两倍 % 定义一些全局变量 global ndm nel na % ndm 总节点数 % nel 基元数
% na 表示活动节点数
V=0; J=0;X0=1/Imax;Y0=X0;%V=0为边界条件 domain_tri % 调用函数画求解区域
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