(江苏专用)2017版高考数学大一轮复习 第十章 解析几何初步 第58课 圆与圆的位置关系 文

(1)若直线l过点A(4，0)，且被圆C1截得的弦长为23，求直线l的方程；

(2)设点P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2，它们分别与圆C1和圆C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标.

【检测与评估答案】

第58课 圆与圆的位置关系

1.4x+3y-18=0 【解析】易判断两圆相交，所以公共弦所在的直线的方程为x+y-8x-6y-(x+y-36)=0，即4x+3y-18=0.

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?a-1b?1--1?0，??22??b-1?-1，?22

2.(x-2)+(y+2)=1 【解析】设圆C2的圆心为(a，b)，则依题意有?a?1解得

?a?2，??b?-2.又圆C2的半径等于圆C1的半径，故圆C2的方程为(x-2)2+(y+2)2=1.

22(-2-2)?(2-5)3.外切 【解析】圆心距为=5=1+4，所以两圆外切.

?x2?y2?5，?x?-1，?x?-1，?2??2x?y?2x-3?0，y?2y?-2，4.(-1，2)和(-1，-2) 【解析】由?解得?或?所以交点坐

标是(-1，2)和(-1，-2).

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5.(1，121) 【解析】显然m>0，圆x+y=m的圆心坐标为(0，0)，半径为m.圆x+y+6x-8y-11=0化为(x+3)+(y-4)=36，圆心为(-3，4)，半径为6.因为两圆相交，所以

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??|6-m|?5，?22(-3)?4=5∈(|6-m|，6+m)，即??6?m?5?1

6.8x+8y+23x-11y=0 【解析】设所求圆的方程为4x+4y+3x+y-8+t(3x+3y-2x+4y-10)=0，因

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为所求圆经过原点，所以-8-10t=0，于是t=-5，故所求圆的方程是8x+8y+23x-11y=0.

7.10 【解析】整理x+y-6x-8y+25-r=0，得(x-3)+(y-4)=r，所以题设中的两个圆一个是以(0，0)为圆心、7为半径，另一个是以(3，4)为圆心、r为半径，要使两圆有公共点，需2≤r≤12，进而可知m=2，n=12，所以n-m=10.

8.x+(y-1)=1 【解析】由圆C的圆心与点(1，0)关于直线y=x对称，得圆C的圆心为(0，1).又因为圆C的半径为1，所以圆C的标准方程为x+(y-1)=1.

9. 设所求圆的方程为x+y+6y-28+λ(x+y+6x-4)=0，即(1+λ)x+(1+λ)y+6λx+6y-28-2

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3??3?3?3-，-??4λ=0，则所求圆的圆心为?1??1???.因为圆心在直线x-y-4=0上，所以-1??+1??-122

4=0，解得λ=-7，故所求圆的方程为x+y-x+7y-32=0.

10. 将两圆的一般方程化为标准方程，C1：(x+2)+(y-3)=1，C2：(x-1)+(y-7)=50-k. 圆C1的圆心为C1(-2，3)，半径r1=1；圆C2的圆心为C2(1，7)，半径r2=50-k(k<50)，

22(-2-1)?(3-7)从而C1C2==5，

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当1+50-k=5，即k=34时，两圆外切；

当|50-k-1|=5，即50-k=6，k=14时，两圆内切；

当14

11. 设经过圆x+y=58与直线6x+8y-3=0交点的圆的方程为x+y-58-t(6x+8y-3)=0，即(x-3t)+(y-4t)=58+25t-3t. 2

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(1) 若圆的面积最小，则相交弦为圆的直径，所以圆心(3t，4t)在直线6x+8y-3=0上，得

3t=50，所以所求圆的方程为50x2+50y2-18x-24y-2 891=0. (2) 所求圆的圆心为C(3t，4t)，半径为25t-3t?58.因为所求圆被直线x+y-1=0被截得的弦

2?7t-1?99|3t?4t-1||7t-1|??222??+2=25t2-3t+58，22长为3，点C到直线x+y-1=0的距离为=，所以

解得t=-4，所以所求圆的方程为x+y+24x+32y-70=0.

12. (1) 由题设条件知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=k(x-4)，即kx-y-4k=0，由垂径

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2?23?22-??2????=1，结合点到直线的距离公式得定得圆心C1到直线l的距离d=2|-3k-1-4k|77k2?1=1?k=0或k=-24，故所求直线l的方程为y=0或y=-24(x-4)，即y=0或7x+24y-28=0. (2) 设点P(m，n)，直线l1，l2的斜率存在且不为0，则直线l1，l2的方程分别为y-n=k(x-m)，y-1n=-k(x-m)，

1m即kx-y+n-km=0，-kx-y+n+k=0，

4m--5?n?kk|-3k-1?n-km|1?122kk?1=由题意可知圆心C1到直线l1的距离等于C2到直线l2的距离，即，?2-m-n?0，?m-n-3?0化简得(2-m-n)k=m-n-3或(m-n+8)k=m+n-5，因为关于k的方程由无穷多解，则有??m-n?8?0，?m?n-5?0，或?

?313??51?-，-????，故P?22?或P?22?.