(江苏专用)2017版高考数学大一轮复习 第十章 解析几何初步 第58课 圆与圆的位置关系 文

第58课 圆与圆的位置关系

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1.(必修2P104例2改编)以点(2，-2)为圆心，且与圆x+y+2x-4y+1=0相外切的圆的方程是 .

【答案】(x-2)+(y+2)=9

【解析】因为圆x+y+2x-4y+1=0的圆心是(-1，2)，半径为2，所以所求圆的半径为

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(2?1)2?(-2-2)2-2=3，所以所求圆的方程是(x-2)2+(y+2)2=9.

2.(必修2P117复习题14改编)圆x+y+x-2y-20=0与圆x+y=25的公共弦所在直线的方程为 . 【答案】x-2y+5=0

【解析】由两圆求得交点坐标，然后再求公共弦所在直线的方程；或由两圆的方程直接相减即得公共弦所在直线的方程.

3.(必修2P107例2改编)过点A(0，6)且与圆C：x+y+10x+10y=0切于原点的圆的方程为 .

【答案】(x-3)+(y-3)=18

【解析】所求圆经过原点和A(0，6)，且圆心应在已知圆的圆心与原点的连线上，根据这三个条件可确定圆的方程.

4.(必修2P110习题2改编)若圆C1：x+y=1与圆C2：x+y-6x-8y+m=0外切，则实数m的值为 . 【答案】9

【解析】依题意可得C1(0，0)，C2(3，4)，

223?4则C1C2==5.又r1=1，r2=25-m，

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由r1+r2=25-m+1=5，解得m=9.

5.(必修2P100习题9改编)已知圆C1：x+y=4与圆C2：x+y-4x+4y+4=0关于直线l对称，那么直线

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l的方程为 .

【答案】y=x-2

【解析】由题意知l垂直平分线段C1C2，且C1(0，0)，C2(2，-2)，则直线l的方程为y=x-2.

1.圆与圆的位置关系(圆O1，圆O2的半径分别为r1，r2，d=O1O2) 图形 量 几何观点 化 方程观点 2.圆系及圆系的方程

(1)当直线l：ax+by+c=0与圆C：x+y+Dx+Ey+F=0相交时，经过直线l与圆C交点的圆系的方程可以设为x+y+Dx+Ey+F+λ(ax+by+c)=0，λ为待定参数.

(2)经过圆C1：f1(x，y)=0与圆C2：f2(x，y)=0交点的圆的方程为f1(x，y)+tf2(x，y)=0(t≠-1). (3)已知圆C1：f1(x，y)=0与圆C2：f2(x，y)=0有公共点(二次项系数相同)，那么方程f1(x，y)-2

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相离 外切 相交 内切 内含 |r2-r1|0 d>r1+r2 Δ<0 d=r1+r2 Δ=0 d=|r1-r2| Δ=0 d<|r1-r2| Δ<0 f2(x，y)=0表示经过它们交点的直线；如果两圆有两个交点，那么方程f1(x，y)-f2(x，y)=0表

示公共弦所在直线；如果两圆外切，那么方程f1(x，y)-f2(x，y)=0表示公切线方程.

3.圆C1：f1(x，y)=0与圆C2：f2(x，y)=0外离时，其中，C1(a，b)，C2(m，n)，半径分别为r1，

r2，则外公切线长为

2C1C2-(r1-r2)2，内公切线长为2C1C2-(r1?r2)2. 【要点导学】

要点导学 各个击破

两圆位置关系的判定

例1 已知圆C1：x+y-2kx+k-1=0和圆C2：x+y-2(k+1)y+k+2k=0，当它们的圆心距最

小时，判断两圆的位置关系.

【思维引导】计算出两圆圆心距关于参数k的表达式，求出最小值，再判断两圆半径和及差与圆心距的大小关系.

【解答】将两圆方程化为标准方程，得 圆C1：(x-k)+y=1， 圆C2：x+(y-k-1)=1.

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1?1?2k????22k?(k?1)2?2. ?圆心距d=C1C2==221显然当k=-2时，两圆圆心距最短且dmin=2，

又两圆半径之和为2，半径之差为0.

2因为0<2<2，所以两圆相交.

【精要点评】圆与圆的位置关系有五种，判断依据是圆心距与两圆半径的和及差的大小关系.

变式 (2014·江苏模拟)已知圆C1：x+y-2mx+4y+m-5=0，圆C2：x+y+2x-2my+m-3=0，求m为何值时：

(1)圆C1与圆C2外切； (2)圆C1与圆C2内含.

【解答】将两圆方程化为标准方程， 得圆C1：(x-m)+(y+2)=9，

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圆C2：(x+1)+(y-m)=4. (1)因为圆C1与圆C2外切，

22(m?1)?(-2-m)则有=3+2，

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所以m+3m-10=0，解得m=2或-5. 所以当m=-5或m=2时，圆C1与圆C2外切. (2)因为圆C1与圆C2内含，

22(m?1)?(-2-m)则有<3-2，

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所以m+3m+2<0，解得-2

两相交圆的公共弦问题

例2 已知圆C：x+y-10x-10y=0与圆M：x+y+6x+2y-40=0相交于A，B两点. (1)求圆C与圆M的公共弦所在直线的方程； (2)求AB的长.

【解答】(1)直线AB的方程为x+y-10x-10y-(x+y+6x+2y-40)=0，即4x+3y-10=0.

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|4?5?3?5-10|5(2)因为C(5，5)，所以圆心C到直线AB的距离为d==5，圆C的半径

r=52，

22r-d所以AB=2=10.

变式 已知圆C1：x+y-6x-6=0，圆C2：x+y-4y-6=0. (1)试判断两圆的位置关系； (2)求公共弦所在直线的方程.

【解答】(1)因为圆C1的圆心为(3，0)，半径为r1=15，圆C2的圆心为(0，2)，半径为

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r2=10，又因为C1C2=13，

所以|r1-r2|