梯形中的动点问题

点评：此题考查了直角梯形的性质、勾股定理、圆周角定理、等腰三角形和相似三角形的判定和性质等知识的综合应用能力．

6、如图，在直角梯形中OABC，已知B、C两点的坐标分别为B（8，6）、C（10，0），动点M由原点O出发沿OB方向匀速运动，速度为1单位/秒；同时，线段DE由CB出发沿BA方向匀速运动，速度为1单位/秒，交OB于点N，连接DM．

若设运动时间为t（s）（0＜t＜8）．

（1）当t为何值时，以B、D、M为顶点的三角形△OAB与相似？ （2）设△DMN的面积为y，求y与t之间的函数关系式；

（3）连接ME，在上述运动过程中，五边形MECBD的面积是否总为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由．

考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定；直角梯形。 专题：综合题；动点型；分类讨论。 解：（1）分类讨论。 若△BAO∽△BDM，则

，（1分）

在直角梯形中OABC由B（8，6）、C（10，0）可知AB=8，OA=6：OB=OC=10

8/t=10/10-t 解得t=40/9 （2分） 若△BAO∽△BMD，

解得t=

；（4分）

，（3分）即8/10-t=

，

所以当t= 40/9 t=50/9，以B，D，M为顶点的

三角形与△OAB相似．

（2）过点M作MF⊥AB于F，则△BFM∽△BAO；

从而MF/6=(10-t)/10，所以MF=6﹣5/3×t，（5分） S△BDM=1/2BD?MF=1/2t（6﹣5/3×t），（6分） 容易证△BDN∽△OBC

S△OBC=1/2×10×6=30，S△BDM / S△OBC =（

分）

①当0＜t≤5时，y=S△DMN=S△BDM﹣S△BDN=t（6﹣t）﹣t2=﹣t2+3t； ②当5＜t＜8时，y=S△DMN=S△BDN﹣S△BDM=t2﹣t（6﹣t）=．（8分） （3）在△BDM与△OME中，

BD=OM=t，∠MBD=∠EOM，BM=EO=10﹣t， 所以△BDM≌△OME；（9分）

从而五边形MECBD的面积等于三角形OBC的面积，因此它是一个定值， SMECBD=30．（10分）

点评：此题考查的知识点有：直角梯形的性质、相似三角形及全等三角形的判定和性质、图形面积的求法等知识，（2）题中一定要根据M、N的不同位置分类讨论，以免漏解．

）2，所以S△BDN=t2（7

7、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=AD=4，BD⊥CD，E是BC的中点．

（1）求∠DBC的度数； （2）求BC的长；

（3）点P从点B出发沿B→C以每秒3个单位的速度向点C匀速运动，同时点Q从点E出发沿E→D以每秒1个单位的速度向点D匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点也停止运动．设运动时间为t（s），连接PQ．当t为何值时△PEQ为等腰三角形． 考点：梯形；等腰三角形的判定。

解：（1）设∠DBC=x，因为AD∥BC，AB=AD，

所以∠ABD=∠ADB=x，四边形ABCD为等腰梯形，∠BCD=2x， 又BD⊥CD， 所以x+2x=90°，即x=30°．即∠DBC=30°． （2）在Rt△BCD中，E是BC的中点，所以DE=BE=CE

又∠C=60°，所以△CDE为等边三角形．所以DE=DC=4，即BC=2DE=8． （3）若点P在BE上，因为∠PEQ=120°，所以PE=QE；即4﹣3t=t，解之t=1s； 若P在EC上，因为∠PEQ=60°，所以PE=QE，

即3t﹣4=t，解之t=2s．所以当t=1s或t=2s时，△PEQ是等腰三角形． 8、（2009?乐山）如图在梯形ABCD中，DC∥AB，∠A=90°，AD=6厘米，DC=4

厘米，BC的坡度i=3：4，动点P从A出发以2厘米/秒的速度沿AB方向向点B运动，动点Q从点B出发以3厘米/秒的速度沿B?C?D方向向点D运动，两个动点同时出发，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止．设动点运动的时间为t秒． （1）求边BC的长；

（2）当t为何值时，PC与BQ相互平分；

（3）连接PQ，设△PBQ的面积为y，探求y与t的函数关系式，求t为何值时，y有最大值？最大值是多少？

考点：梯形；二次函数的最值。专题：分类讨论。 解：（1）作CE⊥AB于E，则四边形ADCE是矩形．?AE?CD?4，CE?DA?6． 又

?i?3∶4，?CE3?EB?8，AB?12．?．2…….EB4分

………3CE2?EB2?10．分

在Rt△CEB中，由勾股定理得：BC?（2）要使PC与BQ相互平分由DC∥AB，，只需保证四边形CPBQ是平行四边形，

此时Q在CD上）由（1），得AB=4+8=12，则PB=12﹣2t．

?3t?10?12?2t．即CQ?BP，解得t?22，即t?22秒时，PC与BQ相互平分．

55（3）①当Q在BC上，即0≤t≤10时，作QF?AB于F，则CE∥QF．

3?QFBQ9t?，?QF?．即QF?3t． ·················································· 8CEBC6105119tPB·QF?(12?2t·)225分

?S△PBQ?=?9(t?3)2?81． ································· 9分

55当t?3秒时，?S△PBQ有最大值为81厘米2． ··································· 10分

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