梯形中的动点问题

又QC=3t，从而∴S=S1⊿QCE =2DHQE=QC·tanC=3t·CH=4t．（注：用相似三角形求解亦可）

QE·QC=6t2；………………………………………………………

（6分）

②当点E在DA上运动时，如图8．过点D作DH⊥BC于点H， 由①知DH=40，CH=30，又QC=3t， 从而ED=QH=QC－CH=3t－30． ∴S= S1梯形QCDE =2(

ED＋QC)DH =120t－600．…………………………（8分）

（4）△PQE能成为直角三角形．……………………………………………………（9分）

当△PQE为直角三角形时，t的取值范围是0＜t≤25且t分）

（注：（4）问中没有答出t155≠8或

155≠8或

t=35．…（12

t=35者各扣1分，其余写法酌情给分）

下面是第（4）问的解法，仅供教师参考：

①当点P在BA（包括点A）上，即0＜t≤10时，如图9．过点P作PG⊥BC于点G ，则PG=PB·sinB=4t，又有QE=4t = PG，易得四边形PGQE为矩形，此时△PQE总能成为直角三角形．

②当点P、E都在AD（不包括点A但包括点D）上，即10＜t≤25时，如图8． 由QK⊥BC和AD∥BC可知，此时，△PQE为直角三角形，但点P、E不能重合，

即5t－50＋3t－30≠75，解得t155≠8．

③当点P在DC上（不包括点D但包括点C）， 即25＜t≤35时，如图10．由ED＞25×3－30=45，

可知，点P在以QE=40为直径的圆的外部，故∠EPQ不会是直角． 由∠PEQ＜∠DEQ，可知∠PEQ一定是锐角．对于∠PQE，∠PQE≤∠CQE， 只有当点P与C重合，即t=35时，如图11，∠PQE=90°，△PQE为直角三角形． 综上所述，当△PQE为直角三角形时，t的取值范围是0＜t≤25且t155≠8或

t=35．

4、（2009?青岛）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD?6cm，CD?4cm，

BC?BD?10cm，点P由

B出发沿BD方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，线段

EF由DC出发沿DA方向匀速运动，速度为1cm/s，交BD于Q，连接PE．若

设运动时间为t（s）（0?t?5）．解答下列问题： （1）当t为何值时，PE∥AB？

（2）设△PEQ的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式； （3）是否存在某一时刻t，使S△PEQ?在，说明理由．

（4）连接PF，在上述运动过程中，五边形PFCDE的面积是否发生变化？说明理由．

考点：平行线的判定；根据实际问题列二次函数关系式；三角形的面积；勾股定理；相似三角形的判定与性质。 解：（1）∵PE∥AB ∴DE?DP．

DADB2S△BCD？若存在，求出此时t的值；若不存25而DE?t，DP?10?t， ∴t6?10?t， 10 ∴t?15．

4∴当t?15(s)，PE∥AB． ··········· 2分

4（2）∵

EF平行且等于

CD，∴四边形

CDEF是平行四边形． ∴

?DEQ??C，?DQE??BDC．

∵BC?BD?10， ∴?DEQ??C??DQE??BDC． ∴△DEQ∽△BCD． ∴DE?EQ．

BCCDtEQ?104． ∴EQ?2t．

5过B作BM⊥CD，交CD于M，过P作PN⊥EF，交EF于N．

BM?102?22?100?4?96?46．∵ED?DQ?BP?t， ∴PQ?10?2t．

又△PNQ∽△BMD，

S△PEQ?PQPN?BDBM，

10?2tPN， ?1046

?t?PN?46?1??

?5?11246246?t?EQPN??t?46?1????t?t． ················· 62255255??6?86．

分

（3）S△BCD?1CDBM?1?4?4222462462S△BCD，则有?t?t??86， 解得t1?1，t2?4 2525525DE?BP?t，??（4）在△PDE和△FBP中，PD? BF?10?t，??△PDE≌△FBP?PDE??FBP，??若S△PEQ?

∴S五边形PFCDE?S△PDE?S四边形PFCD ?S△FBP?S四边形PFCD ?S△BCD?86．

∴在运动过程中，五边形PFCDE的面积不变． ·········· 12分

5、如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，AD=9cm，CD=12cm，BC=15cm．点P由点C出发沿CA方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，线段EF由AB出发沿AD方向匀速运动，速度为1cm/s，且与AC交于Q点，连接PE，PF．当点P与点Q相遇时，所有运动停止．若设运动时间为t（s）． （1）求AB的长度；

（2）当PE∥CD时，求出t的值；

（3）①设△PEF的面积为S，求S关于t的函数关系式；

②如图2，当△PEF的外接圆圆心O恰在EF的中点时，则t的值是多少？（直接写出答案）

考点：相似三角形的判定与性质；三角形的面积；等腰三角形的判定；勾股定理；直角梯形；三角形的外接圆与外心。

解：（1）过A作AM⊥BC于M，则四边形AMCD是矩形；∴AD=MC=9cm，AM=CD=12cm；

Rt△ABM中，AM=12cm，BM=BC﹣MC=6cm；

由勾股定理，得：AB=6cm（只写答案给1分）（3分） （2）∵∠D=90°，AD=9cm，CD=12cm，∴AC=∴AP=15﹣t 当PE∥CD时△AEP∽△ADC ∴

=

t15-t=即 9 15=15cm

t=45 8解得

（符合题意） ∴当PE∥CD时，t=45/8

（3）①过点E，F作EG⊥AC于G，FH⊥AC于H．因为AC=BC；EF‖AB易证AQ=AE=t（1分）

在RT⊿ADC中，sin∠DAC=DC/AC=12/15 ∴EG=AE×sin∠DAC=12/15t； ∵AD∥BC ∴∠ACB =∠DAC ∴FH=CF×sin∠ACB=CF×sin∠DAC=12/15(15-t)=12-12/15t PQ=15-2t EG+FH=12 ∴S△PEF=S△PQE+S△PQF=

+

PQ（EG+FH）= 2 = ﹣12t+90；

②易知：AE=CP=t，AP=CF=CQ=15﹣t，∠EAP=∠FCP， ∴△AEP≌△CPF，∴EP=PF； ∵EF是⊙O的直径 ∴∠EPF=90°；

∴△EPF是等腰直角三角形；易知EF=AB=6cm； ∴S=1/2×6×3=45cm2； 代入①的函数关系式，得： ﹣12t+90=45，解得t=

．（3分）