北京市海淀区2017届高三（上）期末数学试卷（解析版）（理科）

【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了函数的最值，函数的极值，函数的零点，函数的奇偶性等知识点，难度中档．

三、解答题（共6小题，满分80分）

15．（13分）（2016秋?海淀区期末）在△ABC中，c=2a，B=120°，且△ABC面积为

．

（1）求b的值； （2）求tanA的值． 【考点】正弦定理．

【分析】（1）由已知利用三角形面积公式可求a，c的值，进而利用余弦定理可求b的值．

（2）由余弦定理可求cosA的值，进而利用同角三角函数基本关系式可求tanA=

的值．

【解答】（本题满分为13分）

解：（1）∵c=2a，B=120°，△ABC面积为∴解得：a=1，c=2， ∴由余弦定理可得：b=（2）∵a=1，c=2，b=∴cosA=

=

， ，

=

=

．

=acsinB=

．

∴tanA==．

【点评】本题主要考查了三角形面积公式，余弦定理，同角三角函数基本关系式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．

16．（13分）（2016秋?海淀区期末）诚信是立身之本，道德之基，某校学生会创设了“诚信水站”，既便于学生用水，又推进诚信教育，并用“

”

表示每周“水站诚信度”，为了便于数据分析，以四周为一周期，如表为该水站连续十二周（共三个周期）的诚信数据统计：

第一周 95% 94% 85% 第二周 98% 94% 92% 第三周 92% 83% 95% 第四周 88% 80% 96% 第一个周期 第二个周期 第三个周期 （1）计算表中十二周“水站诚信度”的平均数；

（2）分别从表中每个周期的4个数据中随机抽取1个数据，设随机变量X表示取出的3个数据中“水站诚信度”超过91%的数据的个数，求随机变量X的分布列和期望；

（3）已知学生会分别在第一个周期的第四周末和第二个周期的第四周末各举行了一次“以诚信为本”的主题教育活动，根据已有数据，说明两次主题教育活动的宣传效果，并根据已有数据陈述理由．

【考点】离散型随机变量的期望与方差；众数、中位数、平均数；离散型随机变量及其分布列．

【分析】（1）利用平均数公式能求出表中十二周“水站诚信度”的平均数． （2）随机变量X的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．

（3）两次活动效果均好，活动举办后，“水站诚信度”由88%→94%和80%到85%看出，后继一周都有提升．

【解答】解：（1）表中十二周“水站诚信度”的平均数： =

×

=91%．

（2）随机变量X的可能取值为0，1，2，3， P（X=0）=P（X=1）=P（X=2）=P（X=3）=∴X的分布列为：

， =

，

=

， ，

X P EX=

0 1 2 3 =2．

（3）两次活动效果均好．

理由：活动举办后，“水站诚信度”由88%→94%和80%到85%看出， 后继一周都有提升．

【点评】本题考查平均数的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要 认真审题，在历年高考中都是必考题型之一．

17．AB∥DC，（14分）（2016秋?海淀区期末）如图1，在梯形ABCD中，∠ABC=90°，AB=2DC=2BC=4，O是边AB的中点，将三角形AOD饶边OD所在直线旋转到A，

OD位置，使得∠A，OB=120°，如图2，设m为平面A1DC与平面A1OB的交线．

（1）判断直线DC与直线m的位置关系并证明；

（2）若在直线m上的点G满足OG⊥A1D，求出A1G的长； （3）求直线A1O与平面A1BD所成角的正弦值．

【考点】直线与平面所成的角；点、线、面间的距离计算．

【分析】（1）利用线面平行的性质判断并证明直线DC与直线m的位置关系； （2）A1D在平面A1OB中的射影为A1O，OG⊥A1O，即可求出A1G的长；

（3）求出O到平面A1DB的距离，即可求直线A1O与平面A1BD所成角的正弦值．

【解答】解：（1）∵DC∥OB，DC?平面A1OB，OB?平面A1OB ∴DC∥平面A1OB，

∵m为平面A1DC与平面A1OB的交线， ∴DC∥m；

（2）由题意，A1D在平面A1OB中的射影为A1O， ∴OG⊥A1O，∴A1G=2A1O=4； （3）△A1OB中，A1B=∵A1D=DB=2

，∴

=

=2=

， ，

，

设O到平面A1DB的距离为h，则∴h=

，

∵A1O=2，

∴直线A1O与平面A1BD所成角的正弦值=

．

【点评】本题考查线面平行的判定与性质，考查线面垂直的证明，考查线面角，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．

18．（13分）（2016秋?海淀区期末）已知A（0，2），B（3，1）是椭圆G：

上的两点．

（1）求椭圆G的离心率；

（2）已知直线l过点B，且与椭圆G交于另一点C（不同于点A），若以BC为直线的圆经过点A，求直线l的方程．

【考点】直线与椭圆的位置关系；椭圆的标准方程．

【分析】（1）将A和B点的坐标代入椭圆G的方程，列出方程组求出a和b的值，再求出c和离心率；

（2）由（1）求出椭圆G的方程，对直线l的斜率进行讨论，不妨设直线l的方程，与椭圆G的方程联立后，利用韦达定理写出式子，将条件转化为

，