新疆乌鲁木齐市2020届高三数学一模试卷 理(含解析)

【分析】

（1）根据表格及同意父母生“二孩”占60%可求出, ,根据公式计算结果即可确定有97.5%的把握认为是否同意父母生“二孩”与“性别”有关（2）由题意可知X服从二项分布，利用公式计算概率及期望即可.

【详解】（1）因为100人中同意父母生“二孩”占60%， 所以

，

文（2）由列联表可得

而

所以有97.5%的把握认为是否同意父母生“二孩”与“性别”有关 （2）①由题知持“同意”态度的学生的频率为

，

即从学生中任意抽取到一名持“同意”态度的学生的概率为.由于总体容量很大， 故X服从二项分布， 即

从而X的分布列为

X

0 1 2 3 4 X的数学期望为

【点睛】本题主要考查了相关性检验、二项分布，属于中档题. 19.如图，在正三棱柱（1）证明：（2）点在

平面上，若

；

，求二面角

的余弦值.

中，

，，分别是

，

的中点.

【答案】（1）见解析；（2）【解析】 【分析】 （1）连结面

.

为轴，

，

，则

，

，从而平面平面，由此能证明平

（2）以为原点，二面角

为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出

的余弦值.

，，， ，则

平面

，

，

， 平面

，

【详解】证明：（1）如图，连结

平面平面

，

∴平面EFN//平面

平面

，

， 平面为轴，

，，

平面平面

，

. 为轴，

为轴，

解：（2）以为原点，建立空间直角坐标系， 不妨设设

，则，则

， ，

设平面

的法向量为

，，

，

，

，，

，解得，

，，

则，取，得，

同理可得平面的法向量为，

二面角

的余弦值为

.

.

【点睛】

该题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题.

20.椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，过的长轴，短轴端点的一条直线方程是

.

（1）求椭圆的方程； （2）过点定点. 【答案】（1）【解析】 【分析】 （1）对于椭圆的方程； （2）设直线

，（

），设，两点的坐标分别为

过定点

，当

，

， ，

，即

，

，则

，

，当

时，

，即

，当

，

，即

，再写出

；（2）见解析

作直线交椭圆于，两点，若点关于轴的对称点为，证明直线

过

代入椭圆方程，即根据韦达定理，直线方程，求出直线【详解】（1）对于椭圆的方程为（2）证明：设直线设，两点的坐标分别为

，

，（，

）， ，则

，当

时，

，即

，

联立直线得

与椭圆得

，

，

，解得

，，

直线

，

，

令，得

，

直线

过定点

【点睛】本题考查椭圆的定义，考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题. 21.已知函数（1）若曲线

在点

.

处的切线与直线

平行，求的值；

（2）是否存在使得由. 【答案】（1）【解析】 【分析】

仅有一个极值点？若存在求出的取值范围，若不存在，请说明理

；（2）

（1）先求导，根据导数的几何意义即可求出的值，

（2）先求导，再分类讨论，根据导数和函数的极值的关系即可求出. 【详解】解：（1）

，

曲线

在点

，

处的切线与直线

平行， ，