理论力学

1.1 如图示，将垂直力F沿AC和BC方向分解，求分解后的分力。

解：如图所示，利用几何关系：

因此

FFF?AC?BCsin(???)sin?sin? FAC?Fsin?Fsin?FBC?sin(???)，sin(???)

3n/4()，??arcta4n/3()，试将作用于长方体棱角D、大小为100N的力1.2 如图示，已知??arcta用F用基矢量表示，并计算其在长方体对角线AB上的投影。

解：根据投影或二次投影，得 因此

设沿对角线AB的单位矢量为e，因为AB长为 则有e?(15i?16j?12k)/25，于是

Fx?Fcos?sin??64(N)，Fy?Fcos?cos??48(N)，Fz?Fsin??60(N)

F?64i?48j?60k(N)

AB?122?162?152?25cm

FAB?F?e?(64?15?48?16?60?12)/25(N)?97.92(N)

F2?2i?5j?5k，F3?4i?j?7k1.3 已知作用于同一点的三个力（单位均为N）F1?5i?2j?10k，

在l轴上的投影分别为7N，2N和4N，试求l轴的基矢量el。

解：设el?xi?yj?zk，由F1?el?7，F2?el?2，F3?el?4，导出

?5x?2y?10z?7??2x?5y?5z?2?4x?y?7z?4?

解得

x??因此求得

326y?z?7，7，7

326el??i?j?k777

1.4 两轴（基矢量分别为e1和e2）的夹角为?，处于两轴所在平面的力F在这两轴上的投影分别为F1和

F2，试求力F。

解：设F?xe1?ye2，由F?e1?F1, F?e2?F2，得

解出

?x?ycos??F1??xcos??y?F2

?x?(F1?F2cos?)/sin2??2y?(F?Fcos?)/sin? 21?因此

1.5 如图示，求力F在x1轴上的投影及对于z2轴之矩。

解：

F?be1?ae2?ce3a2?b2?c2

x1轴的单位矢量为

e?sin?e1?cos?e3

力F在x1上的投影

F1?F?e?对于z2轴之矩

be1?ae2?ce3a2?b2?c2??sin?e1?cos?e3??bsin??ccos?a2?b2?c2

aba2?b2?c2

1.6 计算图示手柄上的力F对于Ax，Ay，Az之矩。已知F?500N，AB?20cm，BC?40cm，

?CD?15cm，??60?，??45。

mz2?F??m2?F??e3??ae2?be1?ae2?ce3a2?b2?c2?e3?解：根据投影或二次投影，得

Fx?Fcos?sin??1252(N)

Fy??Fcos?cos???1252(N)

Fz??Fsin???2503(N)

由图得r??0.40i?0.35j。因此

1.7 计算题1.2中力F对长方体另一棱角C点的矩。

00.35??1252???151.55??MAx??0??????????00.40??1252???173.21?(N?m)?MAy???0??M???0.35?0.400???????25038.84Az????????

16j?0.12k(m)，F已在题1.2中给出，于是有 解：r?CD??0.15i?0.jk???15.36(N?m)i??i????MC?r?F???0.15?0.16?0.12???16.68(N?m)j??64??4860????3.04(N?m)k?

1.8 力F沿边长为a，b，c的长方体的一棱边作用如图示。试计算F对于长方体对角线OC之矩。

解：根据已知条件，

F??Fk，r?OD?ai?ck

设对角线OC的单位矢量为e，则有

e?(ai?bj?ck)/a2?b2?c2

因此

MOC(F)?M0(F)?e?r?F?e?Fab/a2?b2?c2

1.9 力F沿长方体对角线AB作用如图示。求F对y轴及CD轴之矩。已知F?1kN，a?18cm，b?c?10cm。

解：根据已知条件，

F?F(?ai?bj?ck)/a2?b2?c2，r?CA?ai?bj

设CD轴的单位矢量为e，则有

因此

e?(bj?ck)/b2?c2

My(F)?r?F?j??Faca2?b2?c2??78.63N.m

FabcMCD(F)?r?F?e????55.60N?m22222a?b?cb?c

1.10 若r?F1?r?F2或r?F1?r?F2，试问F1和F2是否相同？为什么？（r为矢径，起始点与F1和F2的作用点重合。）

解：力F1和F2不一定相同。设r沿水图（a）中终点在铅垂线AB上的F1和F2平方向，则满

足

r?F1?r?F2，而图（b）中终点在水

的F1和F2满足r?F1?r?F2，这两

平线CD上种情况下

F1与F2不相同。

1.11 轴AB与铅垂线成?角，悬臂CD垂直地固结在轴上，其长为a，并与铅垂面Baz成?角，如图示。如在D点作用铅垂向下的力F，求此力对AB轴之矩。

解：建立坐标系C?x?y?z?，z?轴沿AB方向，y?轴沿CD’方向，则

而力对AB轴之矩为：

F?F??cos?e3?sin?e2?

mAB?F??a?sin?e1?cos?e2??F??cos?e3?sin?e2??e3?Fasin?sin?

1.12 摇臂起重机上作用一力F?18kN，如图示。试求力F对图示坐标轴Ox、Oy、Oz之矩。

解：

6?3??50N?m6.5 2.5My?18??6?41.54N?m6.5 2.5Mz??18??3??20.77N?m6.5 Mx??18?