三角函数求值域专题

∴sinα=0时，ymin?0； sin??例3 ：求函数y?244时，ymax? ∴0?sin2??sin2??。 399x?1?x的最大值和最小值，并指出当x分别为何值时取到最大值和最小值。

解：∵定义域为0≤x≤1，可设x?cos2x且0????2

1?x?1?cos2??sin2?，0???∴y??2

cos2??sin2??sin??cos??2sin(??)

42????3??sin(??)?1即1?y?2 ∵0???，∴????，∴242444???3??∴当???或???，即θ =0或??（此时x=1或x=0），y=1；

24444??1当??，即??时，（此时x?），y?2，

2421

当x=0或x=1时，y有最小值1；当x?时，y有最大值2。

2

?【反馈演练】

1．函数y?2sin(?x)?cos(?x)(x?R)的最小值等于____－1_______． 363?2．已知函数f(x)?3sinx，g(x)?sin(?x)，直线x?m和它们分别交于M，N，则

210 MNmax?_________．

cos2x3．当0?x?时，函数f(x)?的最小值是______4 _______．

cosxsinx?sin2x433? sinx34．函数y?的最大值为_______，最小值为________. 3cosx?2???(?1,1) 5．函数y?cosx?tanx的值域为 .

22,] 11226．已知函数f(x)?(sinx?cosx)?|sinx?cosx|，则f(x)的值域是 .

22[?7．已知函数f(x)?2sin?x(??0)在区间??,?上的最小值是?2，则?的最小值等 于

?34?_________．

????

3 21 23sin?的最大值是_______.

1?3sin2?8．（1）已知??(0,?)，函数y?（2）已知x?(0,?)，函数y?sinx?2的最小值是____3___. sinx9．在△OAB中，O为坐标原点，A(1,cos?),B(sin?,1),??(0,]，则当△OAB的面积达最大值时，

?2

． ??_____________ 210．已知函数f(x)?2cosx(sinx?cosx)?1，x?R．

?（Ⅰ）求函数f(x)的最小正周期；（Ⅱ）求函数f(x)在区间?，?上的最小值和最大值．

84解：（Ⅰ）f(x)?2cosx(sinx?cosx)?1?sin2x?cos2x?因此，函数f(x)的最小正周期为π．

?π3π???π??2sin?2x??．

4??（Ⅱ）因为f(x)?π???π3π??3π3π?2sin?2x??在区间?，?上为增函数，在区间?，?上为减函数，又

4??88???84?π?3π??3ππ?f???2sin?????2cos??1，

4?4??24??π?f???0，?8??3π?f???2，?8??π3π???故函数f(x)在区间?，?上的最大值为2，最小值为?1． 84解法二：作函数f(x)?

π???π9π?2sin?2x??在长度为一个周期的区间?，?上的图象如下：

4??84??y 2 ?? ??? ?? ?? ???O ? ??? ?x ?2 ?π3π?，由图象得函数f(x)在区间?上的最大值?84??为2，最小值为f??3π????1． ?4?11．若函数f(x)?1?cos2x2sin(?x)2??sinx?a2sin(x??4)的最大值为2?3，试确定常数a的值.

解：f(x)?1?2cos2x?12sin(?2?sinx?a2sin(x??4)

?x)2cos2x????sinx?a2sin(x?)?sinx?cosx?a2sin(x?) 2cosx44?2sin(x?)?a2sin(x?)?(2?a2)sin(x?)

444因为f(x)的最大值为2?3,sin(x?12．已知函数f(x)?2sinx?sin2x．

（1）若x?[0,2?]．求使f(x)为正值的x的集合； （2）若关于x的方程[f(x)]?f(x)?a?0在[0,22????4)的最大值为1，则2?a2?2?3,所以a??3,

?4]内有实根，求实数a的取值范围.

解：（1）∵f(x)?1?cos2x?sin2x?1?2sin(2x??4)

?f(x)?0?1?2sin(2x???2 )?0?sin(2x?)??4245?3??2k? ?k??x??k?

44443?7? 又x?[0,2?]. ∴x?(0,)?(?,)

44???2k??2x??（2）当x?[0,???4]时，2x?2??22????,] ???,?∴sin(2x?)?[?3224?44?则f(x)?[0,2]，∴f(x)?f(x)?[0,6]

∵方程[f(x)]?f(x)?a?0有实根，得a??[f(x)?f(x)]∴a?[?6,0]

22【高考赏析】

2（1）设函数f(x)?3cos?x?sin?xcos?x??（其中??0,??R），且f(x)的图象在y轴右

侧的第一个最高点的横坐标为

?。 6 （I）求?的值。（II）如果f(x)在区间????5??,?上的最小值为3，求?的值。 36??313cos2?x?sin2?x???222??3? ?sin?2?x?????32??

解：（I）f(x)? 依题意得 2??1 解之得??.2?6??3??2,?3 （II)由（I）知,f(x)=sin(x+)???32??7????5?? 又当x???,?时，x???0,?,3?6??36?1? 故??sin(x?)?1,

2313??5?? 从而f(x)在??,?上取得最小值????22?36?133?1 因此，由题 设知?????3.故??222 2.已知函数f(x)=3sin(2x－

ππ

)+2sin2(x－) (x∈R) 612

(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期 ; (2)求使函数f(x)取得最大值的x的集合.

ππ3π1π

解:(Ⅰ) f(x)=3sin(2x－)+1－cos2(x－)= 2[sin2(x－)－ cos2(x－)]+1

612212212 =2sin[2(x－

πππ2π)－]+1 = 2sin(2x－) +1 ∴ T= =π 12632

πππ

)=1，有 2x－ =2kπ+ 332

(Ⅱ)当f(x)取最大值时， sin(2x－

即x=kπ+

5π5π

(k∈Z) ∴所求x的集合为{x∈R|x= kπ+ ， (k∈Z)}． 1212