2014年四川省绵阳市南山中学自主招生数学模拟试卷

（2）在（1）的条件下，求△BCE的面积；

（3）在（1）条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使BH+EH最小，并求出点H的坐标； （4）在第四象限内，抛物线C1上是否存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）依题意，将M（2，2）代入抛物线解析式得： 2=﹣（2+2）（2﹣m），解得m=4．

（2）令y=0，即

（x+2）（x﹣4）=0，解得x1=﹣2，x2=4，

∴B（﹣2，0），C（4，0） 在C1中，令x=0，得y=2， ∴E（0，2）． ∴S△BCE=BC?OE=6．

（3）当m=4时，易得对称轴为x=1，又点B、C关于x=1对称．

如解答图1，连接EC，交x=1于H点，此时BH+EH最小（最小值为线段CE的长度）． 设直线EC：y=kx+b，将E（0，2）、C（4，0）代入得：y=当x=1时，y=，∴H（1，）．

（4）分两种情形讨论：

①当△BEC∽△BCF时，如解答图2所示． 则

2

x+2，

，

∴BC=BE?BF．

由函数解析式可得：B（﹣2，0），E（0，2），即OB=OE，∴∠EBC=45°， ∴∠CBF=45°，

作FT⊥x轴于点T，则∠BFT=∠TBF=45°， ∴BT=TF．

∴可令F（x，﹣x﹣2）（x＞0），又点F在抛物线上， ∴﹣x﹣2=﹣（x+2）（x﹣m）， ∵x+2＞0，

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∵x＞0，

∴x=2m，F（2m，﹣2m﹣2）． 此时BF=

2

=2（m+1），BE=，BC=m+2，

又∵BC=BE?BF，

2

∴（m+2）=?（m+1）， ∴m=2±， ∵m＞0， ∴m=+2．

②当△BEC∽△FCB时，如解答图3所示． 则

2

，

∴BC=EC?BF． ∵△BEC∽△FCB ∴∠CBF=∠ECO， ∵∠EOC=∠FTB=90°， ∴△BTF∽△COE， ∴

，

（x+2））（x＞0）

∴可令F（x，

又∵点F在抛物线上， ∴

（x+2）=﹣（x+2）（x﹣m），

∵x＞0，

∴x+2＞0， ∴x=m+2， ∴F（m+2，

2

（m+4）），EC=，BC=m+2，

又BC=EC?BF， ∴（m+2）=

2

?

整理得：0=16，显然不成立．

综合①②得，在第四象限内，抛物线上存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似，m=+2．

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【点评】本题涉及二次函数的图象与性质、相似三角形的判定与性质、轴对称﹣最小路径问题等重要知识点，难度较大．本题难点在于第（4）问，需要注意分两种情况进行讨论，避免漏解；而且在计算时注意利用题中条件化简计算，避免运算出错．

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参与本试卷答题和审题的老师有：算术；zhehe；lbz；sdwdmahongye；MMCH；mmll852；Linaliu；张其铎；gsls；如来佛；wdxwzk；ZHAOJJ；caicl；sjzx；nhx600；星期八；zhjh；sd2011；sks；ZJX；1286697702；zjx111；未来（排名不分先后） 菁优网

2016年4月19日

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