高中数学第一章三角函数1.2.1任意角的三角函数学案新人教A版必修16

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1.2.1 任意角的三角函数

1.掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义，会判断三角函数值的符号.(重点) 2.掌握诱导公式及其应用.(重点)

3.了解三角函数线的意义，会利用三角函数线表示任意角的正弦、余弦、正切.(难点)

[基础·初探]

教材整理1 任意角的三角函数

阅读教材P11～P12例1以上内容，完成下列问题.

1.单位圆：在直角坐标系中，我们称以原点O为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆. 2.定义：

图1-2-1

在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么： (1)y叫做α的正弦，记作sin α，即sin α＝y； (2)x叫做α的余弦，记作cos α，即cos α＝x； (3)叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝(x≠0).

对于确定的角α，上述三个值都是唯一确定的.所以，正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将它们统称为三角函数.

3.正弦函数sin α的定义域是R；余弦函数cos α的定义域是R；正切函数tan α的

???π定义域是?x?x∈R，且x≠kπ＋

2???

yxyx

??

，k∈Z?.

??

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判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)由sin α＝，故角α终边上的点P(x，y)满足y越大，sin α的值越大.( ) (2)终边相同的角，其三角函数值也相等.( )

(3)三角函数是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数.( )

【解析】 (1)当y越大时，比值不变，故sin α不变. (2)由正弦定义知正确. (3)由三角函数定义知正确. 【答案】 (1)× (2)√ (3)√

教材整理2 正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号 阅读教材P13“探究”内容，完成下列问题.

yryr

图1-2-2

口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”.

已知α是第三象限角，则sin α________0，cos α________0，tan α________0.(填“>”或“<”)

【答案】 < < > 教材整理3 诱导公式一

阅读教材P14“例4”以上内容，完成下列问题.

?11π?等于________. cos?－

6???

?11π?＝cos?－2π＋π?＝cosπ＝3.

【解析】 cos?－?6?6?62????

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【答案】

3 2

教材整理4 三角函数线

阅读教材P15倒数第四行至P17“练习”以上部分，完成下列问题. 1.(1)把规定了正方向的直线称为有向直线.

(2)有向线段：规定了方向(即规定了起点和终点)的线段称为有向线段.

2.三角函数线的定义：如图1-2-3，①设任意角α的顶点在原点O(O亦为单位圆圆心)，始边与x轴的正半轴重合，终边与单位圆相交于点P(x，y)，②过点P作x轴的垂线，垂足为M；过点A(1,0)作单位圆的切线，③设它与角α的终边(当α位于第一、四象限时)或其反向延长线(当α位于第二、三象限时)相交于点T(由于过切点的半径垂直于圆的切线，所以AT平行于y轴).

图1-2-3

于是sin α＝y＝MP，cos α＝x＝OM，tan α＝＝

yMPAT＝＝AT. xOMOA我们规定与坐标轴同向时，方向为正向，与坐标轴反向时，方向为负向，则有向线段MP，

OM，AT分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线.

3.轴线角的三角函数线：当角α的终边与x轴重合时，正弦线、正切线分别变成一个点，此时角α的正弦值和正切值都为0；当角α的终边与y轴重合时，余弦线变成一个点，正切线不存在，此时角α的正切值不存在.

如图1-2-4，在单位圆中角α的正弦线、正切线完全正确的是( )

图1-2-4

A.正弦线PM，正切线A′T′ B.正弦线MP，正切线A′T′

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C.正弦线MP，正切线AT D.正弦线PM，正切线AT

【解析】 α为第三象限角，故正弦线为MP，正切线为AT，C正确. 【答案】 C

[小组合作型]

任意角三角函数的定义及应用

34

(1)若sin α＝，cos α＝－，则在角α终边上的点有( )

55A.(－4,3) C.(4，－3)

B.(3，－4) D.(－3,4)

π

(2)若α＝－，则sin α＝________，cos α＝________，tan α＝________.

3(3)已知角α的终边过点P(－3a,4a)(a≠0)，则2sin α＋cos α＝________. 【精彩点拨】 准确理解任意角三角函数的定义是解题的关键.

【自主解答】 (1)由sin α，cos α的定义知x＝－4，y＝3，r＝5时，满足题意，故选A.

π3??1

(2)因为角－的终边与单位圆交于P?，－?，

32??2

所以sin α＝－(3)因为r＝

31

，cos α＝，tan α＝－3. 22

2

－3a＋4a2

＝5|a|，

①若a>0，则r＝5a，角α在第二象限，

y4a4x－3a3

sin α＝＝＝，cos α＝＝＝－，

r5a5r5a5

83

所以2sin α＋cos α＝－＝1.

55

②若a<0，则r＝－5a，角α在第四象限，

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