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【最新推荐】2020版高考数学二轮复习分层设计(全国I卷)学案:第二层提升篇 专题一三角函数与解三角形第

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  • 2025/7/5 6:07:13

(2)若2a+b=2c,求sin C.

[解] (1)由已知得sin2B+sin2C-sin2A=sin Bsin C, 故由正弦定理得b2+c2-a2=bc. b2+c2-a21

由余弦定理得cos A==.

2bc2因为0°<A<180°,所以A=60°.

(2)由(1)知B=120°-C,由题设及正弦定理得2sin A+sin(120°-C)=2sin C,即312

cos C+sin C=2sin C,可得cos(C+60°)=-. 222

因为0°<C<120°,所以sin(C+60°)=故sin C=sin[(C+60°)-60°]

=sin(C+60°)cos 60°-cos(C+60°)sin 60°=[解题方略] 正、余弦定理的适用条件

(1)“已知两角和一边”或“已知两边和其中一边的对角”应采用正弦定理; (2)“已知两边和这两边的夹角”或“已知三角形的三边”应采用余弦定理. [注意] 应用定理要注意“三统一”,即“统一角、统一函数、统一结构”. 题型二 利用正、余弦定理进行面积计算

A+C

[例2] (2019·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知asin

2=bsin A.

(1)求B;

(2)若△ABC为锐角三角形,且c=1,求△ABC面积的取值范围.

A+CA+C

[解] (1)由题设及正弦定理得sin Asin=sin Bsin A.因为sin A≠0,所以sin

22=sin B.

A+CB

由A+B+C=180°,可得sin=cos,

22BBB

故cos=2sincos. 222

BB1

因为cos≠0,所以sin=,所以B=60°.

222

6+2

. 42, 2

6+2

(2)由题设及(1)知△ABC的面积S△ABC=

3a. 4

-C?csin Asin?120°31

由(1)知A+C=120°,由正弦定理得a===+.

sin Csin C2tan C2由于△ABC为锐角三角形,故0°

?3,3?.

2??8

[解题方略] 三角形面积公式的应用原则

111

(1)对于面积公式S=absin C=acsin B=bcsin A,一般是已知哪一个角就使用含该角

222的公式.

(2)与面积有关的问题,一般要利用正弦定理或余弦定理进行边和角的互化. 题型三 正、余弦定理的实际应用

[例3] 如图,为了估测某塔的高度,在同一水平面的A,B两点处进行测量,在点A处测得塔顶C在西偏北20°的方向上,仰角为60°;在点B处测得塔顶C在东偏北40°的方向上,仰角为30°.若A,B两点相距130 m,则塔的高度CD=________m.

[解析] 设CD=h,则AD=

h

,BD=3h. 3

在△ADB中,∠ADB=180°-20°-40°=120°, 则由余弦定理AB2=BD2+AD2-2BD·AD·cos 120°, 可得

1302=3h2+

h2h?1?

-, -2·3h··

33?2?

解得h=1039,故塔的高度为1039 m. [答案] 1039

[解题方略] 解三角形实际应用问题的步骤

[多练强化]

1.(2019·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知asin A-bsin b1

B=4csin C,cos A=-,则c=( )

4

A.6 C.4

B.5 D.3

解析:选A ∵asin A-bsin B=4csin C, ∴由正弦定理得a2-b2=4c2,即a2=4c2+b2.

b2+c2-a2b2+c2-?4c2+b2?-3c2b1

由余弦定理得cos A====-,∴=6.

c2bc2bc2bc4故选A.

2.(2019·天津高考)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知b+c=2a,3csin B=4asin C.

(1)求cos B的值; π

2B+?的值. (2)求sin?6??

bc

解:(1)在△ABC中,由正弦定理=,

sin Bsin C得bsin C=csin B.由3csin B=4asin C, 得3bsin C=4asin C,即3b=4a.

42

因为b+c=2a,所以b=a,c=a.由余弦定理可得

33

41622+a2-aaa+c-b991

cos B===-. 2ac24

2·a·a

3

2

2

2

(2)由(1)可得sin B=1-cos2B=

15, 4

从而sin 2B=2sin Bcos B=-7

cos 2B=cos2B-sin2B=-,

8

15, 8

35+7πππ15371

2B+?=sin 2Bcos +cos 2Bsin =-故sin?×-×=-. 6??66828216

3.(2019·广东六校第一次联考)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知b2+c2-a2=accos C+c2cos A.

(1)求A;

(2)若△ABC的面积S△ABC=

253

,且a=5,求sin B+sin C. 4

解:(1)∵b2+c2-a2=accos C+c2cos A, ∴2bccos A=accos C+c2cos A, ∵c>0,∴2bcos A=acos C+ccos A,

由正弦定理得2sin Bcos A=sin Acos C+sin Ccos A, 即2sin Bcos A=sin(A+C). ∵sin(A+C)=sin(π-B)=sin B,

∴2sin Bcos A=sin B,即sin B(2cos A-1)=0, 1

∵0

∵0<A<π,∴A=. 3

13253(2)∵S△ABC=bcsin A=bc=,∴bc=25.

244b2+c2-a2b2+c2-251

∵cos A===,∴b2+c2=50,

2bc22×25∴(b+c)2=50+2×25=100,即b+c=10(或求出b=c=5),

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(2)若2a+b=2c,求sin C. [解] (1)由已知得sin2B+sin2C-sin2A=sin Bsin C, 故由正弦定理得b2+c2-a2=bc. b2+c2-a21由余弦定理得cos A==. 2bc2因为0°<A<180°,所以A=60°. (2)由(1)知B=120°-C,由题设及正弦定理得2sin A+sin(120°-C)=2sin C,即312cos C+sin C=2sin C,可得cos(C+60°)=-. 222因为0°<C<120°,所以sin(C+60°)=故sin C=sin[(C+60°)-60°] =sin(C+60°)cos 60°-cos(C+60°)sin 60°=[解题方略] 正、余弦定理的适用条件 (1)“已知两角和一边”

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