2016届安徽宿松九姑中学高考数学一轮经典例题：算术平均数与几何平均数（人教版含解析）解析

安徽省宿松县九姑中学2015届高考数学百大经典例题 算术平均

数与几何平均数（含解析）

例1 已知a,b,c?R，求证a2?b2?c2?ab?bc?ca. 证明：∵ a2?b2?2ab， b2?c2?2bc，

c2?a2?2ca， 三式相加，得

2(a2?b2?c2)?2(ab?bc?ca)，即a2?b2?c2?ab?bc?ca.

说明：这是一个重要的不等式，要熟练掌握．

典型例题二

例2 已知a、b、c是互不相等的正数，

求证：a(b?c)?b(a?c)?c(a?b)?6abc 证明：∵b2?c2?2bc，a?0， ∴a(b?c)?2abc

同理可得：b(a?c)?2abc，c(a?b)?2abc． 三个同向不等式相加，得

222222222222a(b2?c2)?b(a2?c2)?c(a2?b2)?6abc ①

说明：此题中a、b、c互不相等，故应用基本不等式时，等号不成立．特别地，a?b，b?c时，所得不等式①仍不取等号．

典型例题三

例3 求证a?b?b?c?c?a?2222222(a?b?c)．

分析：此问题的关键是“灵活运用重要基本不等式a2?b2?2ab，并能由2(a?b?c)这一特征，思索如何将a2?b2?2ab进行变形，进行创造”．

证明：∵a2?b2?2ab，

两边同加a2?b2得2(a?b)?(a?b)．

222 1

(a?b)2即a?b?．

222∴a?b?2212a?b?(a?b)．

222(b?c)， 22(c?a)． 22222同理可得：b2?c2? c2?a2?22三式相加即得a?b?b?c?c?a?典型例题四

2(a?b?c)．

例4 若正数a、b满足ab?a?b?3，则ab的取值范围是 ． 解：∵a,b?R， ∴ab?a?b?3?2ab?3，令y?∴y?3，或y??1（舍去）．

∴y?ab?9，∴ ab的取值范围是?9,???.

2? ab，得y2?2y?3?0，

说明：本题的常见错误有二．一是没有舍去y??1；二是忘了还原，得出ab??3,???．前者和后者的问题根源都是对ab的理解，前者忽视了ab?0.后者错误地将y视为ab．

因此，解题过程中若用换元法，一定要对所设“元”的取值范围有所了解，并注意还原之．

典型例题五

26x2?1例5 （1）求y?的最大值．

x2?4（2）求函数y?x2?4的最小值，并求出取得最小值时的x值． x2?122（3）若x?0,y?0，且x?y?2，求x?y的最小值．

6x2?16x2?1?2?解：（1）y?2(x?1)?3x?46x2?1?3x2?1?623?3.

2

即y的最大值为3. 当且仅当x2?1?3x2?1时，即x2?2 x??2时，取得此最大值．

442?x?1??1?2?4?1?3 x2?1x2?14∴ y的最小值为3，当且仅当2?x2?1，即(x2?1)2?4，x2?1?2，x??1x?1（2）y?x2?时取得此最小值．

(x?y)2（3）∴ x?y?2xy ∴2(x?y)?(x?y)即x?y?

22222222∵x?y?2 ∴x?y?2 即x?y的最小值为2． 当且仅当x?y?4时取得此最小值．

说明：解这类最值，要选好常用不等式，特别注意等号成立的条件．

典型例题六

例6 求函数y?1?2x?22223的最值． x分析：本例的各小题都可用最值定理求函数的最值，但是应注意满足相应条件．如：

x?0，应分别对x?0,x?0两种情况讨论，如果忽视x?R?的条件，就会发生如下错误：

∵ y?1?2x?333?1?(2x?)?1?22x??1?26，ymax?1?26. xxx33?0，又2x??6， xx解：当x?0时，2x?0,当且仅当2x?633，即x?时，函数2x?有最小值26.

2xx∴ ymax?1?26. 当x?0时，?2x?0,?33?0，又(?2x)?(?)?6， xx当且仅当?2x??633，即x??时，函数?(2x?)最小值26.

2xx∴ ymin?1?26.

典型例题七

3

例7 求函数y?x2?10x?92的最值．

分析：y?(x2?9)?1x?92?x2?9?1x?92?2．

1在x?1时单调递增x但等号成立时x2??8，这是矛盾的！于是我们运用函数y?x?这一性质，求函数y?t?(t?3)的最值．

解：设t?∴y?1tx2?9?3，

x2?101?t?．

tx2?91t110故原函数的最小值为3??，无最大值．

33当t?3时，函数y?t?递增．

典型例题八

例8 求函数y?x2?5x?42的最小值．

分析：用换元法，设t?1x2?4?2，原函数变形为y?t?(t?2)，再利用函数

t1y?t?(t?2)的单调性可得结果．或用函数方程思想求解．

t解：解法一： 设t?x?4?2，故y?2x2?51?t?(t?2).

tx2?4tt?111． 设t2?t1?2，y1?y2?(t1?t2)?(?)?(t1?t2)12t1t2t1t2t1t2?2，得：t1t2?1?0，故：y1?y2． 由t1?t2?0，∴函数y?t?(t?2)为增函数，从而y?2?解法二： 设

1t15?． 221x2?4?t?2，知y?t?(t?2)，可得关于t的二次方程t2?yt?1?0，由根

t与系数的关系，得：t1t2?1．

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