2020年高考数学二轮复习专项微专题核心考点突破：专题20数列的递推关系与通项（解析版）

2020年高考数学二轮复习专项微专题核心考点突破

专题20数列的递推关系与通项

考点命题分析

1专题综述

数列是高中数学的重要内容，也是高等数学的基础.数列的两个重要特征量是通项an与前n项和Sn.而Sn又是数列{Sn}的通项，从这个意义上讲，Sn也是通项.通项是表示数列的重要形式，明确了通项，就清晰地把握了数列.利用递推关系求数列的通项问题，一直受到高考命题者的青睐.递推公式可以通过给出数列的第1项(或前若干项)，并给出数列的某一项与它的前一项(或前若干项)的关系式来表示数列，这种表示数列的式子叫作这个数列的递推公式.递推公式是数列所特有的表示法，它包含两个部分:一是递推关系，二是初始条件，二者缺一不可.通过近几年全国及各省自主命题的高考试卷可以看出，本专题内容的试题，难度适中；本专题内容主要难点是数学情境的变化及题目条件的有效转化.需要指出的是，2017年某些省份自主命题的高考试卷中数列的“压轴题”多以函数与不等式综合为主.全国卷的解答题虽然没有出现数列的递推关系与通项的问题，但选择题的最后一题，对数列通项的考查背景较为新颖，尤其对学生的思维层次要求较高.专题复习备考中我们的做法是:以教材为基点，以辨析递推关系为主线，深度概括通项求解方法，从而有效提升学生的理性思维能力，促进学生数学核心素养水平的达成.

2范例分析

2.1体验常规题的多题一解

高三复习“课时紧张，任务繁重”，很多学生陷入大量作业的泥潭，他们往往关注最终的结果，对于解题过程缺少关注，解题后的反思更无从谈起.教师如果能依据典型的高考试题引导学生反思，进行多题一解，会对正确选择解题方法有较为深刻的认识. 例1Sn为数列{an}的前n项和.已知an>0，(I)求{an}的通项公式； (Ⅱ)设

，求数列{bn}的前n项和.

.

思路探求:本题是锻炼学生运用基础知识的典型素材.让学生先观察题目条件，回答下列4个问题:①

有哪些特征量?②将条件转化为an还是Sn的等式?③依据什么知识进行转化?④如何转化?

在4个问题的追问中，激活学生已学习的相关知识，并能准确的使用.尤其是an和Sn的关系、求和的相应方

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法等作为重要的基础知识，不能有漏洞. (I)由可得①－②得

又因为an>0，所以当n=1时，

. ，即

，解得a1=3或a1=－1(舍去)，所以{an}是首项为3，公

，

①

②

.

差为2的等差数列，通项公式为an=2n+1. (Ⅱ)由an=2n+1可得

记数列{bn}的前n项和为Tn，则

.

.

有的学生会由题目条件得到

，也可以解答问题得到

，此时注意n≥2，

同样可以得到{an}是首项为3，公差为2的等差数列.解题完成后，教师可给出不同的题目.

解答类似的问题时，仍然辅以例1中谈及的4个问题追问，让学生在不同情境中感受完备知识的运用，并重点思考将条件转化为Sn的等式的依据.通过形异质同的不同题目的解答感受解题中的思维相通之处，提升理性思维能力，有效促进学生数学核心素养水平的达成. 2.2整合认识辅助数列方法解决的各类递推关系

引入辅助数列，借助转化与化归的思想，巧妙地使得一些复杂的数列转换为常见的等差数列、等比数列，或把递推关系进一步变得简单明了，从而达到化难为易、化繁为简的目的，以求得数列的通项公式. 例2已知数列{an}满足a1=1，证明:

.

是等比数列，并求{an}的通项公式.

的第n项是什么?第n+1项是什么?题目条件中有无与

进行变换，变换的目的就是要出现两边同时加

.

常数，能行得通吗?这由等比数列的定义容易想

，得到

与，即

思路探求:从题目的求证入手思考，数列和

关联的递推关系?容易想到应该对.于是容易想到在等式

，从而解得

如果直接从例2的问题入手证明行吗?也就是说证明

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到.学生到此应该对求数列通项公式的方法进行总结和概括:如果将

an+1=can+d呢?如果是aan+1+can+d=0呢?另外，还有其他的方法吗?能否代入计算得出

推广为一般形式

后，进行归纳猜想证明?哪种方法更简捷?这些反思和发问能让学生深入思考，发现解决问题方法的本质，做到举一反三、触类旁通.

为了整合对辅助数列方法的认知，可以回归教材，重新感受教材中“迭加法”“累乘法”.在得到等差数列、等比数列通项公式的过程中，对于

，

，

等各种递推关系问题的通性通法要熟练掌握，正确运用，通过各种递推关系的整合训练，

既帮助学生进行基础训练，又帮助学生对此类题型进行归纳总结，同时又对求递推数列常用的方法构造法有更为理性的认识.

2.3体验递推关系与函数、不等式的横向综合

高考试卷中经常以数列为载体考查函数与不等式的综合问题.这需要学生通过综合分析情境中的递推关系，发现已知和未知间的内在联系，并运用知识、方法等解决综合问题.这类问题考查了学生的理性思维，分析问题、解决问题的能力，我们引导学生对解决问题的过程进行评价和反思，就会有效提高学生的解题能力. 例3已知数列{an}满足

且

.证明:

.

思路探求:分析题目条件中的递推关系，不能盲目地套用构造法，而是要结合题目要求分析递推关系应进行怎样的变换，才能搭建已知和未知的桥梁.容易得到

，那么要探求

的范围，需要分析an的取

，可得

值范围，这时问题便需要从取值范围的角度再来观察分析递推关系

，此时可得所证不等式的右边.容易判断an与an+1同均为正值，故得证.

由题意得

，所以

，

，所以an与an+1同号.又

，所以，故.

递推关系的变形目的是能搭建题目中已知和未知的中间构架，所以变形的形式需要不断地修正探索，使得已知条件在不断地变形中演化到所求的结构特征最终消除差异实现证明. 例4已知数列{xn}满足:(Ⅰ)(Ⅱ)

；

；

.证明:当n∈N*时，

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(Ⅲ).

思路探求:递推关系是xn与xn+1共存的等式，关系较为明确，用xn+1来表示xn，结合需要证明第(I)问的不等式，不妨借助数学归纳法.而证明第(Ⅱ)问，即证得到此时需要证明自然想到构造函数第(Ⅲ)问中需证明定

，

，用导数法进行证明即可.

，而已知条件为等式，如何进行放缩才能得到想要的不等式?首先应该确

xn+1

的范围实现放缩.于是有

，后续累乘可以得到

；

，

，消元代入xn=

，

为放缩的主要对象，结合

，可得到

如果要证明，切入点不是题目条件中的递推关系，而是要由第(Ⅱ)问中的结论进行变形运算.总之，

试题与函数、不等式融合，对学生的思维能力要求较高，让学生在解题中不断思考“是什么”“为什么”“还有什么”等问题，发现思维背后的驱动源，从而增强对递推关系的深度认识，深化对辅助数列方法的本质领悟. (I)用数学归纳法证明:xn>0

当n=1时，x1=1>0，假设当n=k(k∈N*)时，xk>0，那么当n=k+1时，若xk+1≤0，则0

.因此

，所以得

，

.

所以函数f(x)在区间[0，+∞)内单调递增，则因此即(Ⅲ)因为得

，以此类推，

，

.

， . ，

.因此

. ，.

所以，故.

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