2019新版高中数学人教A版必修5习题：第二章数列 2.3.2 含解析

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第2课时 等差数列的综合应用

课时过关·能力提升

基础巩固

1一个等差数列共有10项,其偶数项之和是15,奇数项之和是12.5,则它的首项与公差分别是( ).

A.,B.,1C.,2D.1, 答案:A

2设数列{an},{bn}都是等差数列,且a1=25,b1=75,a2+b2=100,则由an+bn所组成的数列的第37项的值为 A.0

B.37

C.100

D.-37

解析:设cn=an+bn,

则c1=a1+b1=25+75=100,c2=a2+b2=100. 故d=c2-c1=0.

故cn=100(n∈N*).从而c37=100. 答案:C

3等差数列{an}共有3m项,若前2m项的和为200,前3m项的和为225,则中间m项的和为( ). A.25

B.75

C.100

D.125

( ).

11

22121212解析:∵Sm,S2m-Sm,S3m-S2m成等差数列,

∴Sm+S3m-S2m=2(S2m-Sm).

∴3Sm=3S2m-S3m=600-225,∴Sm=125. ∴中间m项的和为S2m-Sm=200-125=75.

答案:B

4现有200根相同的钢管,把它们堆放成正三角形垛,如果使剩余的钢管尽可能少,那么剩余钢管的根数为( ). A.9

B.10

C.19

D.20

??(??+1)2

解析:设堆放成n层正三角形钢管垛时可使剩余钢管最少,由题意可知<200,

∵满足

??(??+1)2

<200,??所取的最大值为19,

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1

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又当n=19时,答案:B

??(??+1)2=190,∴200?190=10.故选B.

5在等差数列{an}中,a3+a9+a15=21,则S17= . 解析:∵a3+a9+a15=3a9=21,∴a9=7.

∴S17=

答案:119

17(??1+??17)

2=17??9=17×7=119.

6等差数列{an}和{bn}的前n项和分别是Sn,Tn,且

??解析:??9

9

??5??5

=,则

23

??9??9

= .

=

9(??1+??9)

29(??1+??9)2=??5=3. 5

??2

答案: 237在等差数列{an}中,a1+a2=2,a3+a4=4,则a5+a6= . 解析:由题意得,2,4,a5+a6成等差数列,

∴2+a5+a6=2×4.∴a5+a6=6.

答案:6

8某渔业公司今年年初购进一艘渔船用于捕捞,第一年需要维修费12万元,从第二年起维修费比上一年增加4万元,则前10年维修费的总和是 万元.

解析:设第n年的维修费是an(万元),则an+1-an=4(万元),则每年的维修费构成以a1=12,d=4的等差数列{an},所以前10年的维修费的总和是S10=10a1+答案:300

9已知在数列{an}中,an=2n-19,求数列{|an|}的前n项和Sn. 解∵an=2n-19,∴由an≥0,得n≥2.

19

10×9

??2

=10×12+

10×9

×2

4=300(万元).

∴当n≤9时,an<0;当n≥10时,an>0.

当n≤9时,Sn=|a1|+|a2|+…+|an| =-(a1+a2+…+an)=?=?

??(-17+2??-19)

2??(??1+????)

2

=??(18???);

当n≥10时,Sn=|a1|+|a2|+…+|a9|+|a10|+…+|an|

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2

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=-(a1+a2+…+a9)+a10+a11+…+an =-2(a1+a2+…+a9)+a1+a2+…+an =-2×

9(??1+??9)??(??1+2+????)

2 =-9(-17-1)+??(-17+2??-19)

2=??2?18??+162.

∴S??(18-??),??≤9,n=

??2

-18??+162,??≥10.

10已知等差数列{an}的前3项分别为a-1,4,2a,记前n项和为Sn. (1)设Sk=2 550,求a和k的值; (2)设b??n=

??

??,求??3+??7+??11+?+??4???1的值.

解(1)由已知得a1=a-1,a2=4,a3=2a.

∵a1+a3=2a2,∴(a-1)+2a=8,即a=3, ∴a1=2,公差d=a2-a1=2.

由S??(??-1)k=ka1+

2??,得2k+??(??-1)

2×2=2550,

即k2+k-2550=0,

解得k=50或k=-51(舍去),∴a=3,k=50. (2)由S??(??-1)

n=na1+2??,得 S??(??-1)n=2n+

×2=??2+??,∴????=??

??2??=??+1,

∴{bn}是等差数列.

∴b(4+4??)??

3+b7+b11+…+b4n-1=(3+1)+(7+1)+(11+1)+…+(4n-1+1)=2

=2??2+2??.∴b3+b7+b11+…+b4n-1=2n2+2n.

能力提升

1在等差数列{a??n}中,已知a3∶a5=3∶4,则9

??5

的值是( ).

A.27

9

3

12

20B.4C.4D.5 解析:??

99??

9

4

12

??5=5??53=5×3=5.

答案:D

2设S??

1

??

n是等差数列{an}的前n项和,若3??6=3,则6??12等于( ).

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3

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A.

310B.1113C.8D.9 解析:∵??31??6

=3,∴??6=3??3.

∴S6-S3=2S3,S9-S6=S9-3S3. ∵S3,S6-S3,S9-S6成等差数列, ∴S9-S6=3S3,S9=6S3,S12-S9=4S3,

∴S??3??3

12=10S3,∴63

??12

=10??3

=10.

答案:A

3已知两个等差数列{a7??+1n}和{bn}的前n项和之比为4??+27(??∈N*),则??

11??11

等于( ).

A.7B.347842C.3D.

71 解析:设数列{aS??n}的前n项和为n,数列{bn}的前n项和为Tn,则

11??11

=

2??11(??1+??21)×212??11

=

(??1+??21)×21

=

(??1+??21)×21

??7×21+14

(??+??2121)×21=212??21

=4×21+27=3. 答案:C

4设等差数列{an}的前n项和为Sn,若Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,则m=( ). A.3

B.4

C.5

D.6

解析:∵Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,

∴am=Sm-Sm-1=0-(-2)=2,

am+1=Sm+1-Sm=3-0=3.

∴d=am+1-am=3-2=1. ∵S??-1

m=ma1+

??(??-1)

2×1=0,∴??1=?2.

又∵a??-1

m+1=a1+m×1=3,∴?2+??=3.

∴m=5.故选C.

答案:C

5一个有11项的等差数列,奇数项之和为30,则它的中间项为 . 解析:由条件知a1+a3+a5+a7+a9+a11=30.

∵a1+a11=a3+a9=a5+a7,∴a5+a7=2a6=10. ∴a6=5,即中间项a6=5.

答案:5

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