2020高考人教数学(理)大一轮复习检测：第八章 第五节 双曲线 Word版含解析

【人教版】2020届高考数学理大一轮复习：检测全集

限时规范训练(限时练·夯基练·提能练)

A级 基础夯实练

1．(2018·石家庄模拟)已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4，0)，(4，0)，则双曲线的方程为( )

x2y2

A.－＝1 412x2y2

C.－＝1 106

x2y2

B．－＝1

124x2y2

D．－＝1

610

解析：选A.已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4，0)，(4，0)，

22xy

则c＝4，a＝2，b2＝12，即双曲线方程为－＝1，故选A.

412

x2y2

2．(2018·辽宁抚顺模拟)当双曲线M：2－＝1(－2≤m＜

m2m＋60)的焦距取得最小值时，双曲线M的渐近线方程为( )

A．y＝±2x C．y＝±2x

2

B．y＝±x

21

D．y＝±x

2

解析：选C.由题意可得c2＝m2＋2m＋6＝(m＋1)2＋5，当m＝－1时，c2取得最小值，即焦距2c取得最小值，此时双曲线M的方程y2

为x－＝1，所以渐近线方程为y＝±2x.故选C.

4

2

2y

3．(2017·全国卷Ⅰ)已知F是双曲线C：x2－＝1的右焦点，P

3

是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是(1，3)，则△APF的面积为( )

1A. 3

1B．

2

1 “

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2C. 33D．

2

解析：选D.解法一：由题可知，双曲线的右焦点为F(2，0)，当y2

x＝2时，代入双曲线C的方程，得4－＝1，解得y＝±3，不妨取

3点P(2，3)，因为点A(1，3)，所以AP∥x轴，又PF⊥x轴，所以AP⊥PF，113

所以S△APF＝|PF|·|AP|＝×3×1＝.故选D.

222

解法二：由题可知，双曲线的右焦点为F(2，0)，当x＝2时，y2

代入双曲线C的方程，得4－＝1，解得y＝±3，不妨取点P(2，3)，

3→→→→

因为点A(1，3)，所以AP＝(1，0)，PF＝(0，－3)，所以AP·PF＝0，113

所以AP⊥PF，所以S△APF＝|PF|·|AP|＝×3×1＝.故选D.

222

4．(2018·武汉市武昌区调研考试)已知F1，F2是椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且|PF1|＞|PF2|，线段PF1的垂直2e2

平分线过F2，若椭圆的离心率为e1，双曲线的离心率为e2，则＋e12的最小值为( )

A．6 C.6

B．3 D．3

解析：选A.设椭圆的长半轴长为a，双曲线的半实轴长为a′，半

??|PF1|＋|PF2|＝2a2e22a?焦距为c，依题意知，2a＝2a′＋4c，所以＋＝e12c??|PF1|－|PF2|＝2a′

2a′c2a′＋4ccc＋＝＋＝＋＋4≥2＋4＝6，当且仅当c＝2a′

cc2a′2a′2a′时取“＝”，故选A.

x2y2

5．(2018·河南新乡模拟)已知双曲线C：2－2＝1(a＞0，b＞0)

ab

2

“

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的右焦点为F，点B是虚轴的一个端点，线段BF与双曲线C的右→→→

支交于点A，若BA＝2AF，且|BF|＝4，则双曲线C的方程为( )

x2y2

A.－＝1 65x2y2

C.－＝1 84

x2y2

B．－＝1

812x2y2

D．－＝1

46

?

?

→→?2cb?

解析：选D.不妨设B(0，b)，由BA＝2AF，F(c，0)，可得A?3，3?，4c214a2＋b210b23代入双曲线C的方程可得×2－＝1，即·2＝，所以2＝，

9a99a9a2①

→

又|BF|＝b2＋c2＝4，c2＝a2＋b2， 所以a2＋2b2＝16，② 由①②可得，a2＝4，b2＝6，

x2y2

所以双曲线C的方程为－＝1，故选D.

46

x2y2

6．已知点P，A，B在双曲线2－2＝1(a＞0，b＞0)上，直线

ab1

AB过坐标原点，且直线PA，PB的斜率之积为，则双曲线的离心率

3为( )

23A.

3C．2

15B．

3D．

10 2

解析：选A.根据双曲线的对称性可知点A，B关于原点对称，设

2

x2y1x2y21

A(x1，y1)，B(－x1，－y1)，P(x，y)，所以2－2＝1，2－2＝1，两

abab

3 “

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222

x2y1－y2y1－y2b21－x

式相减得2＝2，即2＝，因为直线PA，PB的斜率之

abx1－x2a22

y1－y－y1－yy211－yb21

积为，所以kPA·kPB＝·＝2＝a2＝3，所以双曲线3x1－x－x1－xx21－x

的离心率为e＝b21＋2＝a1231＋＝.故选A.

33

x2y2y2x2

7．已知双曲线－＝1的一个焦点是(0，2)，椭圆－＝1

m3mnm的焦距等于4，则n＝________．

解析：因为双曲线的焦点是(0，2)，所以焦点在y轴上，所以双y2x2

曲线的方程为－＝1，即a2＝－3m，b2＝－m，所以c2＝－

－3m－my2

3m－m＝－4m＝4，解得m＝－1.所以椭圆方程为＋x2＝1，且n＞0，

n椭圆的焦距为4，所以c2＝n－1＝4或1－n＝4，解得n＝5或－3(舍去)．

答案：5

x2y2

8．(2018·四川绵阳模拟)设F1，F2分别为双曲线C：2－2＝1(a

ab＞0，b＞0)的两个焦点，M，N是双曲线C的一条渐近线上的两点，四边形MF1NF2为矩形，A为双曲线的一个顶点，若△AMN的面积12

为c，则该双曲线的离心率为________． 2

?b??解析：设Mx，ax?，根据矩形的性质， ??

得|MO|＝|OF1|＝|OF2|＝c，

?b?2

即x＋?ax?＝c2，

??

2

则x＝a，所以M(a，b)．

4 “