离散数学 习题答案

2、把下列各式转换为前束范式 (1) ?x(?(?yP(x,y)→(?zQ(z)→R(x))))

??x(?(?yP(x,y)→(??zQ(z)∨R(x)))) 条件式的等值式

??x(?(??yP(x,y)∨(??zQ(z)∨R(x)))) 条件式的等值式

??x((???yP(x,y)∧(???zQ(z)∧?R(x)))) 德摩律 ??x((?yP(x,y)∧(?zQ(z)∧?R(x)))) 否定的否定

??x?y?z ((P(x,y)∧(Q(z)∧?R(x)))) 量词辖域的扩张与收缩

??x?y?z (P(x,y)∧Q(z)∧?R(x)) 量词辖域的扩张与收缩

(2) ?x?y((?zP(x,y,z)∧?uQ(x,u))→?vQ(y,v))

??x?y(? (?zP(x,y,z)∧?uQ(x,u)) ∨?vQ(y,v)) 条件式的等值式

??x?y( (??zP(x,y,z) ∨??uQ(x,u)) ∨?vQ(y,v)) 德摩律 ??x?y( (?z?P(x,y,z) ∨?u?Q(x,u)) ∨?vQ(y,v)) 德摩律 ??x?y?z?u?v ( (?P(x,y,z) ∨ ?Q(x,u)) ∨Q(y,v)) 德摩律

??x?y?z?u?v ( ?P(x,y,z) ∨ ?Q(x,u)∨Q(y,v)) 德摩律

(3) ?xF(x) →?yP(x,y)

??zF(z) →?yP(x,y) 约束变元与自由变元同名，故约束变元改名

???zF(z)∨?yP(x,y) 条件式的等值式 ??z?F(z)∨?yP(x,y) 德摩律 ??z?y(?F(z)∨P(x,y)) 德摩律

(4) ?x(P(x,y)→?yQ(x,y,z))

??x(P(x,y)→?sQ(x,s,z)) 约束变元y与自由变元y同名，故约束变元改名 ??x(?P(x,y) ∨?sQ(x,s,z)) 条件式的等值式 ??x?s(?P(x,y)∨Q(x,s,z)) 辖域的扩充与收缩

(5) ?x(P(x,y)??yQ(x,y,z))

??x(P(x,y)??sQ(x,s,z)) 约束变元y与自由变元y同名，故约束变元改名

??x((P(x,y)→?sQ(x,s,z)) ∧(?sQ(x,s,z)→P(x,y))) 双条件的等值式

??x((P(x,y)→?sQ(x,s,z)) ∧(?tQ(x,t,z)→P(x,y))) 后面约束变元与前面同则后面换名 ??x((?P(x,y)∨?sQ(x,s,z))∧(??tQ(x,t,z)∨P(x,y))) 条件式的等值式 ??x((?P(x,y)∨?sQ(x,s,z))∧(?t?Q(x,t,z)∨P(x,y))) 德摩律 ??x?s?t((?P(x,y)∨Q(x,s,z))∧(?Q(x,t,z)∨P(x,y))) 辖域的扩充与收缩

(6) ?x(F(x) →G(x,y)) →(?yH(y) →?zL(y,z))

??x(F(x) →G(x,y)) →(?sH(s) →?zL(y,z)) 约束变元改名 ???x(F(x) →G(x,y)) ∨(?sH(s) →?zL(y,z)) 条件式的等值式 ???x(?F(x) ∨G(x,y)) ∨(??sH(s) ∨?zL(y,z)) 条件式的等值式 ??x? (?F(x) ∨G(x,y)) ∨(??sH(s) ∨?zL(y,z)) 德摩律 ??x?(?F(x) ∨G(x,y)) ∨(?s?H(s) ∨?zL(y,z)) 德摩律 ??x(??F(x)∧?G(x,y))∨(?s?H(s)∨?zL(y,z)) 德摩律 ??x(F(x)∧?G(x,y))∨(?s?H(s)∨?zL(y,z)) 否定的否定 ??x?s?z(F(x)∧?G(x,y))∨(?H(s)∨L(y,z)) 辖域的扩充与收缩

(7) ?xF(x,y) →(F(x) →??yG(x,y))

??sF(s,y) →(F(x) →??yG(x,y)) 约束变元改名

??sF(s,y)→(F(x)→??tG(x,t)) 约束变元改名 ???sF(s,y)∨(?F(x)∨??tG(x,t)) 条件式的等值式 ??s?F(s,y)∨(?F(x)∨?t?G(x,t)) 德摩律 ??s?t?F(s,y)∨(?F(x)∨ ?G(x,t)) 辖域的扩充与收缩 ??s?t?F(s,y)∨ ?F(x)∨ ?G(x,t) 结合律

习题三 一、证明如下推理式

1、?xF(x)→?y((F(y)∨G(y))→R(y))，?xF(x) ??xR(x)

(1) ?xF(x) 前提条件

(2) ?xF(x) →?y((F(y) ∨G(y)) →R(y)) 前提条件 (3) ?y((F(y) ∨G(y)) →R(y)) (1)(2)假言推理 (4)F(c) (1)存在量词指定

(5) F(c) ∨G(c) (4)及析取的定义

(6) (F(c) ∨G(c)) →R(c) (3)全称量词指定 (7)R(c)(5)(6)假言推理 (8) ?xR(x) (7)存在推广

2、?x(F(x)→(G(a) ∧R(x)))，?xF(x) ??x(F(x) ∧R(x))

(1) ?xF(x)前提条件

(2)F(c) (1)存在量词指定

(3) ?x(F(x)→G(a) ∧R(x)))前提条件

(4) F(c)→G(a)∧R(c))(3)全称指定，尤其x=c应成立 (5) G(a)∧R(c) (2)(4)假言推理或分离原则 (6)R(c) (5)与合取的定义

(7) F(c)∧R(c) (2)(6)与合取的定义 (8) ?x(F(x)∧R(x)(7)存在推广

3、?x(F(x)∨G(x))，??G(x) ??xF(x)

(1) ??G(x)前提条件 (2) ?x?G(x)(1)的等值 (3) ?G(x0) (2)全称指定，x0为任意变元 (4) ?x(F(x) ∨G(x))前提条件

(5) (F(x0) ∨G(x0))(4)全称指定为x0 (6) ?G(x0) → F(x0) (5)等值变换 (7) F(x0)(3)(6)分离原则或假言推理 (8) ?xF(x) (7)存在推广

4、?x(F(x) ∨G(x))，?x(?R(x) ∨?G(x))，?xR(x) ??xF(x) (1) ?x(F(x) ∨G(x))前提条件

(2) (F(x0) ∨G(x0)) (1)全称指定，x0为任意变元 (3) ?x(?R(x) ∨?G(x))前提条件 (4) (?R(x0) ∨?G(x0)) (3)全称指定，变元x指定为(2)中确定的变元x0，即是同一个x0

(5) ?xR(x)前提条件

(6)R(x0)(5)全称指定，与(2)中的x0为同一个 (7) R(x0) →?G(x0) (4)的等值变换 (8) ?G(x0)(6)(7)分离原则或假言推理 (9) ?G(x0) → F(x0)(2)的等值变换 (10)F(x0) (8)(9)分离原则或假言推理 (11)?xF(x)(10)存在推广

其实也可推出?xF(x)，因为其中的x0是任意的

5、?x(F(x) →?G(x))，?x(H(x) →G(x)) ??x(H(x) →?F(x)) (1) ?x(F(x) →?G(x))前提条件

(2) F(x0) →?G(x0) (1)全称指定x为x0 (3) ?x(H(x) →G(x))前提条件

(4) H(x0) →G(x0) (3)全称指定，尤其将x指定(2)中的x0 (5) G(x0) →? F(x0) (2)等值演算 9

(6) H(x0) →? F(x0)(4)(5)的传递律

(7)?x(H(x) →?F(x)) (6)的全称扩充，因为其中的x0是任意的 (3)A(王军)为真前提条件

(4)B(王军)为真 (2)(3)假言推理

6、?xF(x) →?xG(x) ??x(F(x) →G(x)) (1) ?xF(x) →?xG(x) 前提条件 (2) ??xF(x) ∨?xG(x)(1)等值演算 (3) ?x? F(x) ∨?xG(x) (2)等值演算 (4) ?x(? F(x) ∨ G(x)) (3)推理定律 (5) ?x(F(x) →G(x)) (4)等值演算

7、?x(F(x) →G(x)) ??xF(x) →?xG(x) (1) ?xF(x)附加条件

(2) F(x0) (1)全称指定，x0为任意值 (3) ?x(F(x) →G(x))前提条件

(4) (F(x0) →G(x0)) (3)全称指定，尤其指定为(2)中的x0 (5) G(x0) (2)(4)假言推理或分离原则 (6) ?xG(x) (5)全称推广，x0为任意变元

8、?x(F(x) ∨G(x)) ???xF(x) →?xG(x)

(1) ??xF(x)附加前提条件 (2) ?x?F(x)(1)等值演算 (3) ?F(c) (2)存在指定，当x=c时成立 (4) ?x(F(x) ∨G(x))前提条件

(5) F(c) ∨G(c)(4)全称指定，当x=c时肯定成立。 (6) ?F(c) → G(c) (5)等值演算

(7) G(c) (3)(6)假言推理即分离原则 (8) ?xG(x) (7)存在推广

二、应用题

在自然推理系统中，构造下面的推理，要求先将如下语句用谓词公式表示出来，再证明结论的正确性。

1、没有白色的乌鸦，北京鸭是白色的，因此北京鸭不是乌鸦。

解：W(x)表示x是白色，A(x)表示x是乌鸦，B(x)表示x是北京鸭

前提：??(W(x) ∧A(x))，?x(B(x) →W(x)) 结论：?x(B(x) →?A(x)) 证明： (1) ??(W(x) ∧A(x)) 前提条件 (2) ?x? (W(x) ∧A(x)) (1)等值演算 (3) ? (W(x0) ∧A(x0)) (2)全称指定 (4) ? W(x0) ∨?A(x0) (3)等值演算 (5) W(x0) →? A(x0) (4)等值演算 (6) ?x(B(x) →W(x)) 前提条件

(7) B(x0) →W(x0) (6)全称指定，与(2)指定的x0是同一个 (8) B(x0) →?A(x0) (7)(5)传递律

(9) ?x(B(x) →?A(x)) (8)全称推广，由于x0是任意的。

2、偶数都能被2整除，8是偶数，所以8能被2整除。 解：A(x)表示x整数是偶数

B(x)表示整数x能被2整除

?x(A(x)→B(x))，A(8) ?B(8) (1) ?x(A(x)→B(x))为真前提条件

(2) A(8)→B(8)为真 (1)全称指定，尤其x=8 (3)A(8)为真前提条件

(4)B(8)为真 (2)(3)假言推理

3、凡IT行业的从业人员都是辛苦的，王军从事IT行业，所以他是辛苦的。

解：A(x)表示x人是IT行业的从业人员

B(x)表示x人是辛苦的

?x(A(x)→B(x))，A(王军) ?B(王军) (1) ?x(A(x)→B(x))为真前提条件

(2) A(王军)→B(王军)为真 (1)全称指定，尤其x=王军

4、每个喜欢步行的人都喜欢骑自行车，每个人可能喜欢骑自行车或喜欢步行，有的人不喜欢骑自行车，所以，有的人不喜欢步行(论域为人类)。 解：W(x)表示x人喜欢步行 R(x)表示x人喜欢骑自行车

?x(W(x)→R(x))，?x(W(x)∨R(x))，?x? R(x) ??x?W(x) (1) ?x?R(x)为真前提条件 (2) ?R(c)为真存在指定，如x=c (3) ?x(W(x)→R(x))为真前提条件

(4) W(c)→R(c)为真全称指定，特别x=c (5) ?R(c)→ ?W(c)为真与(4)等值 (6) ?W(c)为真 (2)(5)假言推理 (7) ?x?W(x)为真存在推广，只要有一个c使公式为真， 则可加上存在量词?x

5、每个科学工作者都是刻苦钻研的，每个刻苦钻研而又聪明的人在他的事业中都将获得成功，任正翔是科学工作者，并且是聪明的，所以任正翔在他的事业中将获得成功(论域为人类)。

解：A(x)表示x人是科学工作者

B(x)表示x人是刻苦钻研的 C(x)表示x人是聪明的 D(x)表示x人获得成功

?x(A(x) →B(x))，?x(A(x)∧B(x) ∧C(x) →D(x))，A(任正翔)，C(任正翔) ? D(任正翔) (1) ?x(A(x) →B(x))为真前提条件

(2) A(任正翔) →B(任正翔)为真 (1)全称指定，尤其x=任正翔 (3) ?x(A(x)∧B(x) ∧C(x) →D(x))为真前提条件

(4)A(任正翔)∧B(任正翔) ∧C(任正翔) →D(任正翔)为真 (3)全称指定，尤其x=任正翔 (5) A(任正翔) 为真前提条件 (6) C(任正翔) 为真前提条件

(7)B(任正翔)为真 (2)(5)假言推理

(8) A(任正翔)∧B(任正翔) ∧C(任正翔)为真 (5)(6)(7)与合取的性质

(9) D(任正翔)为真 (4)(8)假言推理

第三章 集合与关系 习题一 一、求下列集合的幂集 1、{杨,李,石}

P({杨,李,石})={A000, A001, A010, A011, A100, A101, A110, A111 }

={{},{石},{李,石},{杨},{杨, 石},{杨,李},{杨,李,石}}

2、{{1,2},{2,1,1},{2,1,1,2}}

原集合={{1,2},{2,1},{2,1}}={{1,2}}，只有一个元素，其幂集只有 2 个元素 P={{},{1,2}}

二、利用包含排斥原理，求解以下各题。 1、对 60 人调查，25 读《每周新闻》，26 读《时代》，26 人读《财富》，9 人读《每周新闻》和《财富》，11 读《每周新闻》和《时代》，8 人读《时代》与《财富》，还有 8 人什么都不读，请计算：

(1)阅读全部三种杂志的人数。 (2)分别求只阅读每周新闻、时代、财富杂志的人数。解：10

令 A={每周新闻的读者}，B={时代的读者}，C={财富的读者}。

由于 8 人什么都不读，故只有 52 人读杂志，即|A∪B∪C|=52

|A|=25，|B|=26，|C|=26 |A∩C|=9，|A∩B|=11，|B∩C|=8 由包含排斥原理可知

|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|-|A∩C|-|A∩B|-|B∩C|+| A∩B∩C|，故 52=25+26+26-9-11-8+| A∩B∩C|

故| A∩B∩C|=3 即同时读三种杂志的人为 3 人

|A-B-C|=|A|-|A∩B|-|A∩C|+| A∩B∩C|=25-9-11+3=8 人只读每周新闻的人

|B-A-C|=|B|-|B∩A|-|B∩C|+| A∩B∩C|=26-11-8+3=10 人只读时代的人 |C-A-B|=|C|-|C∩A|-|C∩B|+| A∩B∩C|=26-9-8+3=12 人只读财富的人

8 新闻

6

8 3 12 财富

时代

10 5

2、某班 25 个学生，14 人会打篮球，12 人会打排球，6 人会篮球和排球，5 人会打篮球和网球，还有 2 人会打这三种球，已知 6 人会网球的都会篮球或排球，求不会打球的人。

解：先求出会打球的人，25-会打球的人=不会打球的人。 |篮|=14,|排|=12,|篮∩排|=6,|篮∩网|=5,|篮∩排∩网|=2，|网|=6， 又 |网∩篮|+|网∩排|-|网∩篮∩排|=6 故 5+|网∩排|-2=6，故 |网∩排|=3 由包含排斥原理可知

|篮∪排∪网|=|篮|+|排|+|网|-|篮∩排|-|篮∩网|-|排∩网|+|篮∩排∩网|

=14+12+6- 6- 5-3+2=20 故不会打球的有5人

=162

(1)同时能被 3，5，7 整除

解：能被[3,5,7]即其最小公倍数 105 整除的数，300/105=2.x，只有 2 个数，分别 105，

210

|A3∩A5∩A7|=2

(2)不能被 3 和 5 整除，也不能被 7 整除的数解：所有的数-能被 3 或能被 5 或能被 7 整除的数

=300-|A3∪A5∪A7|=300-162=138

(3)可以被 3 整除，但是不能被 5 和 7 整除 解：|A3-A5-A7|=|A3|-|A3∩A5|-|A3∩A7|+|A3∩A5∩A7|=100-20-14+2=68

(4)可以被 3 或 5 整除，但不能被 7 整除 |A3∪A5-A7|

=|A3∪A5|-|(A3∪A5)∩A7|

=|A3∪A5|-|(A3∩A7)∪(A5∩A7)|

|A3∪A5|=|A3|+|A5|-|A3∩A5|=100+60-20=140

|(A3∩A7)∪(A5∩A7)|= |(A3∩A7)|+ |(A5∩A7)|- |(A3∩A7) ∩ (A5∩A7)|

=|(A3∩A7)|+ |(A5∩A7)|- |A3∩A7 ∩A5| =14+8-2=20

|A3∪A5-A7|=140-20=120

(5)只被 3,5,7 中一个整除的数解： 只被 3 整除的数=|A3|-|A3∩A5|-|A3∩A7|+|A3∩A5∩A7|=100-20-14+2=68 只被 5 整除的数=|A5|-|A3∩A5|-|A5∩A7|+|A3∩A5∩A7|=60-20-8+2=34 只被 7 整除的数=|A7|-|A3∩A7|-|A5∩A7|+|A3∩A5∩A7|=42-14-8+2=22

3、在 1 到 300 的整数中（1 和 300 包含在内），分别求满足以下条件的整数个数

(1)同时能被 3，5，7 整除；

(2)不能被 3 和 5 整除，也不能被 7 整除的数； (3)可以被 3 整除，但是不能被 5 和 7 整除；

(4)可以被 3 或 5 整除，但不能被 7 整除； (5)只被 3,5,7 中一个整除的数；解：A3示能被 3 整除的数，A5能被 5 整除，A7能被 7 整除的数

|A3|=300/3=100 |A5|=300/5=60 |A7|=300/7=42

|A3∩A5|=300/15=20

|A3∩A7|=300/21=100/7=14 |A5∩A7|=300/35=60/7=8

|A3∩A5∩A7|=2 |A3∪A5∪A7|=

|A3|+|A5|+|A7|-|A3∩A5|-|A3∩A7|-|A5∩A7|+|A3∩A5∩A7|=100+60+42-20-14-8+2

4、求 1~120 之间的素数。

提示：采用筛选法求不超过 120 之间的素数。由

故 120 平方根<11，只要去掉 2,3,4,5,6,7,8,9,10 的 120<121，

倍数，则剩下来的数不可能有因数存在，即为素数。而 6、8、10 为 2 倍数，9 为 3 的倍数，10 为 5 的倍数，因此只要去掉{2,3,5,7}的倍数，则剩下来的数不可能有因数存在，即为素数。

素数=120-1-{2,3,5,7}的倍数+4，其中“减 1”表示 1 不是素数，“+4”表示加上 2,3,5,7

这 4 个数，这 4 个数在{2,3,5,7}的倍数中已被减去过一次。

令 A2 为 2 倍数，A3 为 3 的倍数， A5 为 5 的倍数，A7 为 7 的倍数，故{2,3,5,7}的倍数=|A2∪A3∪A5∪A7|。

|A2|=120/2=60 能被 2 整除的 |A3|=120/3=40 能被 3 整除 |A5|=120/5=24 能被 5 整除 |A7|=120/7=17 能被 7 整除

|A2∩A3|=120/6=20 C(4,2)=6 |A2∩A5|=120/10=12 |A2∩A7|=120/14=60/7=8 |A3∩A5|=120/15=40/5=8 |A3∩A7|=120/21=40/7=5 11

|A5∩A7|=120/35=24/7=3

|A2∩A3∩A5|=120/(2*3*5)=60/(3*5)=20/5=4 C(4,3)=C(4,1)=4

|A2∩A3∩A7|=120/(2*3*7)=60/(3*7)=20/7=2 |A3∩A5∩A7|=120/(3*5*7)=40/(5*7)=8/7=1

|A2∩A5∩A7|=120/(2*5*7)=60/(5*7)=12/7=1

|A2∩A3∩A5∩A7|=120/(2*3*5*7)=60/(3*5*7)=20/(5*7)=4/7=0

|A2∪A3∪A5∪A7|=60+40+24+17-(20+12+8+8+5+3)+(4+2+1+1)-0=141-56+8=149-56=93 故素数=120-1-{2,3,5,7}的倍数+4=120-1-93+4=124-94=30 素数它们分别是

1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 4 11,12,13,14,15,16,17,18,19,20 4 21,22,23,24,25,26,27,28,29,30 2 31,32,33,34,35,36,37,38,39,40 2 41,42,43,44,45,46,47,48,49,50 3 51,52,53,54,55,56,57,58,59,60 2 61,62,63,64,65,66,68,67,69,70 2 71,72,73,74,75,76,77,78,79,80 3 81,82,83,84,85,86,87,88,89,90 2 91,92,93,94,95,96,97,98,99,100 1 101,102,103,104,105,106,107,108,109,110 4 111,112,113,114,115,116,117,118,119,120 1 共 30 个

5、在 1 和 10000 之间（包括 1 和 10000 在内）不能被 4、5、6 整除的数有多少个？

解 A 表示被 4 整除的数，B 表示被 5 整除的数，C 表示被 6 整除的数 |A|=10000/4=2500 |B|=10000/5=2000 |C|=10000/6=1666

|A∩B|=10000/[4,5]=10000/20=1000/2=500 |A∩C|=10000/[4,6]=10000/12=2500/3=833 |B∩C|=10000/[6,5]=10000/30=1000/3=333

|A∩B∩C|=10000/[6,5,4]=10000/60=1000/6=166 |A∪B∪C|

=|A|+|B|+|C|-|A∩B|-|A∩C|-|B∩C|+|A∩B∩C| =2500+2000+1666-(500+833+333)+166 =6166-1666+166 =4666

10000-|A∪B∪C|=10000-4666=5334

6、在 1 和 10000 之间（包括 1 和 10000）既不是某个整数的平方，也是不是某个整数的立方的数有多少？ 解：设A={x|1<=x<=10000,x=a2 }，则a2<=10000，则a<=100，这样的a有 1~100 个，|A|=100。

设B={y|1<=y<=10000,y=b3}，则b3<=10000，则b<=21，这样b有 21 个，|B|=21

|A∩B|={x|1<=x<=10000，x=a2，x=b3}，

既是某个数的平方，又是某个数的立方，这样的数必须是 1~21 之间的某些数，要求a2=b3，即要求a=b*sqrt(b)， sqrt(b)必须整数，即 b 必须可开平方，而 b 在[1,21]之间能开平方的数，b 只能是 1,4,9,16，对应的a= b*sqrt(b)=1,8,27,64，这时a2=1,64,729,4096，b3=1,64,729,4096 |A∩B|=4

|A∪B|=|A|+|B|-|A∩B|=100+21-4=117 满足题意的数=10000-117=9883

7、在 1 和 1000000 之间（包括 1 和 10000）在多少个整数包含了 1，2，3 和 4。 1~10000 同时包含 1，2，3，4，则至少有 4 位，最小 1234，最大 4321，共有 4!=16

若是 1~1000000 ，则为 6 位整数，相当于 6 个格子让 4 个数去选，则为

P(6,4)=6!/3!=6*5*4*3=30*12=360，

剩下的 2 个格子可填数字 0~9 任何一个，并且可以重复，共有 10*10=100 可能性根据乘法原则应有=360*100=36000 个。

分析：这中间可能存在一些重复的情况数字，如102344，红色的数字是 1，2，3，4 选定的位置，而黑色数字是 0~9 十个数字去选的位置它也可以看成是102344，其中红色是的是 1，2，3，4 的另一种选定，这是二种不同的红色即 1，2，3，4 的不同排列方式，但却是同一个数字，显然重复了。 另解：

A1=表示不含数字 1 的整数，让 0，2，3，4，5，6，7，8，9 去构成 6 位整数，这 6 个格子中数字可以重复出现，每个格子有 9 种可能性，故有 96= 531441 显然|A1|= 531441 A2=表示不含数字 2 的整数，显然|A2|= 531441

A3=表示不含数字 3 的整数，显然|A3|= 531441 A3=表示不含数字 4 的整数，显然|A4|= 531441

同时含有 1，2，3，4 应是~A1∩~A2∩~A3∩~A4=~(A1∪A2∪A3∪A4)=S-(A1∪A2∪A3∪A4)，

所以关键要求出|(A1∪A2∪A3∪A4)|，计算过程如下：

|A1∩A2|=|{不含有数字 1 与数字 2}|=|{含有数字 0,3,4,5,6,7,8,9}|=86=262144 |A1∩A3|=|{不含有数字 1 与数字 3}|=|{含有数字 0,2,4,5,6,7,8,9}|=86=262144

|A1∩A4|=|{不含有数字 1 与数字 4}|=|{含有数字 0,2,3,5,6,7,8,9}|=86=262144 |A2∩A3|=|{不含有数字 2 与数字 3}|=86=262144

|A2∩A4|=|{不含有数字 2 与数字 3}|=86=262144 |A3∩A4|=|{不含有数字 2 与数字 3}|=86=262144 |A1∩A2∩A3|=|{不含有数字 1，2 与 3}|=76=117649 |A1∩A2∩A4|=|{不含有数字 1，2 与 4}|=76=117649 |A1∩A3∩A4|=|{不含有数字 1，3 与 4}|=76=117649 |A2∩A3∩A4|=|{不含有数字 1，2 与 3}|=76=117649

|A1∩A2∩A3∩A4|=|{不含有数字 1，2、3 与 4}|=66=46656 |(A1∪A2∪A3∪A4)|= 4*531441-6*262144+4*117649-46656 =2125764-1572864+470596-46656=976840

含有 1，2，3，4 应是~A1∩~A2∩~A3∩~A4=~(A1∪A2∪A3∪A4)=S-(A1∪A2∪A3∪A4)，

| S-(A1∪A2∪A3∪A4)|=1000000-976840=23160

习题二 1 、已知 A={?,{?}} ，求 A×P(A) ，如果不好理解，可以换成

A={a,b},P(A)={ ?,{a},{b},{a,b}}。

解：P(A)={A00,A01,A10,A11}={?,{{?}},{?},{?,{?}} } A×P(A)={?,{?}} ×{?,{{?}},{?},{?,{?}} } ={,,,,

<{?},?>,<{?},{{?}}>,<{?},{?}>,<{?},{?,{?}}>}

如果不好理解，可以换成 A={a,b},P(A)={ ?,{a},{b},{a,b}} A×P(A)={a,b} ×{?,{a},{b},{a,b} ={,,,,,,,}

再将 a 换成?，b 换成{?}则以结果为 A×P(A)= {, , , , <{?}, ?>, <{?},{ ?}>, <{?},{{?}}>, <{?},{ ?,{?}}>}

2、设 A={1,2,4,6}，列出下列关系所包含的序偶，并判断关系所属的类型(自反、反自反、对称、反对称、传递)。 (1)R={|x,y∈A∧x+y≠2}

(2) R={|x,y∈A∧x/y∈A} (1)R={|x,y∈A∧x+y≠2} 解

R={<1,2>,<1,4>,<1,6>,<2,1>,<2,2>,<2,4>,<2,6>,<4,1>,<4,2>,<4,4>,<4,6>,<6,1>, <6,2>, <6,4>, <6,6>}

(2)R={|x,y∈A∧x/y∈A} 12