第三章 思考题-习题解答

转角速度为?，并知其自转轴与进动轴间的夹角??60?，求进动角速度?的量值。

21 3.34试用欧勒动力学方程，证明在欧勒-潘索情况中，动量矩J及动量T都是常数。 3.35对称陀螺的轴位于竖直位置，陀螺以很大的角速度?作稳定的自转。今突然在离开

1顶点d处受到一与陀螺的对称轴垂直的冲量I作用。试证陀螺在以后的运动中，最大章动角近似地为

?Id? 2tg?1??I????31?式中I3是陀螺绕对称轴转动的转动惯量。

3.36一个I1?I2?I3的刚体，绕其重心作定点转动。已知作用在刚体上的阻尼力是一力偶，位于与转动瞬轴相垂直的平面内，其力偶矩与瞬时角速度成正比，比例常数为I3?，试证刚体的瞬时角速度在三惯量主轴上的分量为

?x?ae??tI3I1?n?sin?e??t??? ????n?cos?e??t???

????y?ae?tI3I1?z??e??t

式中a,?,?都是常数，而

n?

I3?I1?。 I1第三章习题

3.1 半径为r的光滑半球形碗，固定在水平面上。一均质棒斜靠在碗缘，一端在碗内，一端则在碗外，在碗内的长度为c，试证棒的全长为

4c2?2r2

c 3.2长为2l的均质棒，一端抵在光滑墙上，而棒身则如图示斜靠在与墙相距为

??d?d?lcos??的光滑棱角上。求棒在平衡时与水平面所成的角?。

B2lA?d

第3.2题图 3.3 两根均质棒AB、BC在B处刚性联结在一起，且?ABC形成一直角。如将此棒的A点用绳系于固定点上，则当平衡时，AB和竖直直线所成的角?0满足下列关系

b2 tg?0?2a?2ab式中a及b为棒AB和BC的长度，试证明之。

3.4相同的两个均质光滑球悬在结于定点O的两根绳子上，此两球同时又支持一个等重的均质球，求?角及?角之间的关系。

O??

????第3.4题图? 3.5一均质的梯子，一端置于摩擦系数为1的地板上，另一端则斜靠在摩擦系数为1的高

23墙上，一人的体重为梯子的三倍，爬到梯的顶端时，梯尚未开始滑动，则梯与地面的倾角，最小当为若干？

3.6把分子看作相互间距离不变的质点组， 试决定以下两种情况下分子的中心主转动惯量：

?a?二原子分子。它们的质量是m1，m2，距离是l。

?b?形状为等腰三角形的三原子分子，三角形的高是h，底边的长度为a。底边上两个

原子的质量为m1，顶点上的为m2。

ym2C?h xm1m1a第3.6（b)题图 3.7如椭球方程为

x2y2z2?2?2?1 2abc试求此椭球绕其三个中心主轴转动时的中心主转动惯量。设此椭球的质量为m，并且密度?是常数。

3.8半径为R的非均质圆球，在距中心r处的密度可以用下式表示：

?r2? ???0??1??R2????式中?0及?都是常数。试求此圆球绕直径转动时的回转半径。 3.9立方体绕其对角线转动时的回转半径为

k?试证明之。式中d为对角线的长度。

d32

3.10一均质圆盘，半径为a，放在粗糙水平桌上，绕通过其中心的竖直轴转动，开始时的角速度为?0。已知圆盘与桌面的摩擦系数为?，问经过多少时间后盘将静止？

3.11通风机的转动部分以初角速?0绕其轴转动。空气阻力矩与角速成正比，比例常数为

k。如转动部分对其轴的转动惯量为I，问经过多少时间后，其转动的角速减为初角速的一

半？又在此时间内共转了多少转？

?0

第3.11题图 3.12矩形均质薄片ABCD，边长为a与b，重为mg，绕竖直轴AB以初角速?0转动。此时薄片的每一部分均受到空气的阻力，其方向垂直与薄片的平面，其量值与面积及速度平方成正比，比例系数为k。问经过多少时间后，薄片的角速减为初角速的一半？

?BCb

AaD第3.12题图 3.13一段半径R为已知的均质圆弧，绕通过弧线垂直的轴线摆动。求其作微振动时的周期。

3.14试求复摆悬点上的反作用力在水平方向的投影R与竖直方向的投影R。设此摆的

XY重量为mg，对转动轴的回转半径为k，转动轴到摆重心的距离为a，且摆无初速地自离平衡位置为一已知角?0处下降。

3.15一轮的半径为r，以匀速v0无滑动地沿一直线滚动。求轮缘上任一点的速度及加速度。又最高点及最低点的速度各等于多少？哪一点是转动瞬心？

3.16一矩形板ABCD在平行于自身的平面内运动，其角速度为定值?。在某一瞬时，A点的速度为v，其方向则沿对角线AC。试求此瞬时B点的速度，以v、?及矩形的边长等表示之。假定_____AB?a,BC?b。

_____

1? 3.17长为l的杆AB在一固定平面内运动。其A端在半径r??r??的圆周里滑动，而杆

?2?本身则于任何时刻均通过此圆周的M点。试求杆上任一点的轨迹及转动瞬心的轨迹。